Calcule:
(a) \int x^{2} e^{x} d x
(b) \int x^{2} \cos (x) d x
(c) \int x \ln (x) d x
(d) \int e^{x} \operatorname{sen}(x) d x
(e) \int x e^{-2 x} d x
(f) \int x \operatorname{sen}(3 x) d x
(g) \int[\ln (x)]^{2} d x
(h) \int x \operatorname{sec} ^{2}(x) d x

Passo 1

O enunciado pede calcular as seguintes integrais indefinidas (estou considerando que \operatorname{sen}(x)=\sin(x)):
(a) \displaystyle \int x^{2} e^{x}\,dx
(b) \displaystyle \int x^{2}\cos(x)\,dx
(c) \displaystyle \int x\ln(x)\,dx
(d) \displaystyle \int e^{x}\sin(x)\,dx
(e) \displaystyle \int x e^{-2x}\,dx
(f) \displaystyle \int x\sin(3x)\,dx
(g) \displaystyle \int [\ln(x)]^{2}\,dx
(h) \displaystyle \int x\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx

Passo 2

Regra útil (a ferramenta que vamos usar muitas vezes): fórmula de integração por partes.
A fórmula é
\int u\,dv = u v - \int v\,du,
onde u=u(x) é uma função diferenciável e dv é outra parte da integral cuja antiderivada v conhecemos. Aqui:
  • du é a derivada de u multiplicada por dx, isto é du = u'(x)\,dx.
  • v é uma primitiva de dv, isto é v=\int dv.
Dicas práticas para escolher u e dv: escolha u a parte que simplifica quando derivada (por exemplo, polinômios, \ln x, potências), e escolha dv de modo que seja fácil integrar (ex.: e^{ax}, \sin x, \cos x, potências simples).
Outros lembretes que usarei sem sempre justificar:
\frac{d}{dx}\ln(x)=\frac{1}{x},\qquad \int e^{ax}\,dx=\frac{1}{a}e^{ax}\quad(a\neq0),
\int\sin x\,dx=-\cos x,\qquad \int\cos x\,dx=\sin x,
\int\tan x\,dx=-\ln|\cos x|=\ln|\operatorname{sec} x|.

Passo 3

Resolver (a) \displaystyle \int x^{2}e^{x}\,dx.
Escolho u=x^{2} e dv=e^{x}\,dx. Então
du=2x\,dx,\qquad v=\int e^{x}\,dx=e^{x}.
Aplicando integração por partes:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x}-\int e^{x}\cdot 2x\,dx = x^{2}e^{x}-2\int x e^{x}\,dx.
Agora preciso calcular \displaystyle\int x e^{x}\,dx. Faço partes novamente: tomo u=x, dv=e^{x}\,dx. Então
du=dx,\qquad v=e^{x},
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x}-e^{x}.
Substituindo de volta:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x}-2\big(x e^{x}-e^{x}\big) = e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big)+C.

Passo 4

Resolver (b) \displaystyle \int x^{2}\cos(x)\,dx.
Faço integração por partes com u=x^{2}, dv=\cos x\,dx. Então
du=2x\,dx,\qquad v=\sin x,
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \int 2x\sin x\,dx.
Calcular \displaystyle\int x\sin x\,dx por partes: escolha u=x, dv=\sin x\,dx. Então
du=dx,\qquad v=-\cos x,
\int x\sin x\,dx = -x\cos x + \int \cos x\,dx = -x\cos x + \sin x.
Portanto
\int 2x\sin x\,dx = 2\big(-x\cos x+\sin x\big) = -2x\cos x + 2\sin x.
Substituindo:
\int x^{2}\cos x\,dx = x^{2}\sin x - \big(-2x\cos x + 2\sin x\big) = x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C.

Passo 5

Resolver (c) \displaystyle \int x\ln(x)\,dx.
Escolho u=\ln x e dv=x\,dx. Então
du=\frac{1}{x}\,dx,\qquad v=\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}.
Aplicando partes:
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \int \frac{x^{2}}{2}\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{1}{2}\int x\,dx.
Calcular \displaystyle\int x\,dx=\frac{x^{2}}{2}. Logo
\int x\ln x\,dx = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{1}{2}\cdot\frac{x^{2}}{2} = \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C.

Passo 6

Resolver (d) \displaystyle \int e^{x}\sin x\,dx.
Este é um caso clássico: aplicar integração por partes duas vezes e resolver a equação resultante. Defina
I=\int e^{x}\sin x\,dx.
Faço partes com u=e^{x}, dv=\sin x\,dx. Então
du=e^{x}\,dx,\qquad v=-\cos x,
I = -e^{x}\cos x - \int (-\cos x)\,e^{x}\,dx = -e^{x}\cos x + \int e^{x}\cos x\,dx.
Chame J=\int e^{x}\cos x\,dx. Calcule J por partes com u=e^{x}, dv=\cos x\,dx:
du=e^{x}\,dx,\qquad v=\sin x,
J = e^{x}\sin x - \int e^{x}\sin x\,dx = e^{x}\sin x - I.
Voltando à expressão de I:
I = -e^{x}\cos x + J = -e^{x}\cos x + (e^{x}\sin x - I).
Isolando I:
I = -e^{x}\cos x + e^{x}\sin x - I \quad\Rightarrow\quad 2I = e^{x}(\sin x - \cos x).
Logo
\int e^{x}\sin x\,dx = I = \frac{e^{x}}{2}\big(\sin x - \cos x\big) + C.

Passo 7

Resolver (e) \displaystyle \int x e^{-2x}\,dx.
Uso partes com u=x, dv=e^{-2x}\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
Aplicando:
\int x e^{-2x}\,dx = x\cdot\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big) - \int \big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big)\,dx = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\int e^{-2x}\,dx.
Calcular a integral restante:
\int e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}e^{-2x}.
Portanto
\int x e^{-2x}\,dx = -\tfrac{1}{2}x e^{-2x} + \tfrac{1}{2}\big(-\tfrac{1}{2}e^{-2x}\big) + C = -\frac{e^{-2x}}{2}x - \frac{e^{-2x}}{4} + C.
Podemos fatorar:
\int x e^{-2x}\,dx = -\frac{e^{-2x}}{4}\big(2x+1\big) + C.

Passo 8

Resolver (f) \displaystyle \int x\sin(3x)\,dx.
Escolho u=x, dv=\sin(3x)\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int \sin(3x)\,dx = -\frac{1}{3}\cos(3x).
Aplicando partes:
\int x\sin(3x)\,dx = x\cdot\big(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\big) - \int \big(-\tfrac{1}{3}\cos(3x)\big)\,dx = -\tfrac{1}{3}x\cos(3x) + \tfrac{1}{3}\int \cos(3x)\,dx.
Calcule \displaystyle\int \cos(3x)\,dx = \tfrac{1}{3}\sin(3x). Assim
\int x\sin(3x)\,dx = -\tfrac{1}{3}x\cos(3x) + \tfrac{1}{3}\cdot\tfrac{1}{3}\sin(3x) + C = -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C.

Passo 9

Resolver (g) \displaystyle \int [\ln(x)]^{2}\,dx.
Use integração por partes com u=(\ln x)^{2}, dv=dx. Então
du=2\ln x\cdot\frac{1}{x}\,dx=\frac{2\ln x}{x}\,dx,\qquad v=\int dx = x.
Aplicando:
\int (\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - \int x\cdot\frac{2\ln x}{x}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\int \ln x\,dx.
Já sabemos (ou calculamos por partes simples) que
\int \ln x\,dx = x\ln x - x.
Então
\int (\ln x)^{2}\,dx = x(\ln x)^{2} - 2\big(x\ln x - x\big) + C = x\big((\ln x)^{2} - 2\ln x + 2\big) + C.

Passo 10

Resolver (h) \displaystyle \int x\operatorname{sec}^{2}(x)\,dx.
Integração por partes com u=x, dv=\operatorname{sec}^{2}x\,dx. Então
du=dx,\qquad v=\int \operatorname{sec}^{2}x\,dx = \tan x.
Aplicando:
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x - \int \tan x\,dx.
Lembrando que \displaystyle\int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|, obtemos
\int x\operatorname{sec}^{2}x\,dx = x\tan x + \ln|\cos x| + C.
(Alternativamente pode ser escrito x\tan x - \ln|\operatorname{sec} x| + C, que é equivalente.)

Resposta

(a) \displaystyle e^{x}\big(x^{2}-2x+2\big)+C
(b) \displaystyle x^{2}\sin x + 2x\cos x - 2\sin x + C
(c) \displaystyle \frac{x^{2}}{2}\ln x - \frac{x^{2}}{4} + C
(d) \displaystyle \frac{e^{x}}{2}\big(\sin x - \cos x\big)+C
(e) \displaystyle -\frac{e^{-2x}}{4}\big(2x+1\big)+C
(f) \displaystyle -\frac{x}{3}\cos(3x) + \frac{1}{9}\sin(3x) + C
(g) \displaystyle x\big((\ln x)^{2} - 2\ln x + 2\big) + C
(h) \displaystyle x\tan x + \ln|\cos x| + C

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