Calcule:
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 1
O enunciado pede calcular as seguintes integrais indefinidas (estou considerando que
):
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
Passo 2
Regra útil (a ferramenta que vamos usar muitas vezes): fórmula de integração por partes.
A fórmula é
onde
é uma função diferenciável e
é outra parte da integral cuja antiderivada
conhecemos. Aqui:
-
é a derivada de multiplicada por , isto é . -
é uma primitiva de , isto é .
Dicas práticas para escolher
e
: escolha
a parte que simplifica quando derivada (por exemplo, polinômios,
, potências), e escolha
de modo que seja fácil integrar (ex.:
,
,
, potências simples).
Outros lembretes que usarei sem sempre justificar:
Passo 3
Resolver (a)
.
Escolho
e
. Então
Aplicando integração por partes:
Agora preciso calcular
. Faço partes novamente: tomo
,
. Então
Substituindo de volta:
Passo 4
Resolver (b)
.
Faço integração por partes com
,
. Então
Calcular
por partes: escolha
,
. Então
Portanto
Substituindo:
Passo 5
Resolver (c)
.
Escolho
e
. Então
Aplicando partes:
Calcular
. Logo
Passo 6
Resolver (d)
.
Este é um caso clássico: aplicar integração por partes duas vezes e resolver a equação resultante. Defina
Faço partes com
,
. Então
Chame
. Calcule
por partes com
,
:
Voltando à expressão de
:
Isolando
:
Logo
Passo 7
Resolver (e)
.
Uso partes com
,
. Então
Aplicando:
Calcular a integral restante:
Portanto
Podemos fatorar:
Passo 8
Resolver (f)
.
Escolho
,
. Então
Aplicando partes:
Calcule
. Assim
Passo 9
Resolver (g)
.
Use integração por partes com
,
. Então
Aplicando:
Já sabemos (ou calculamos por partes simples) que
Então
Passo 10
Resolver (h)
.
Integração por partes com
,
. Então
Aplicando:
Lembrando que
, obtemos
(Alternativamente pode ser escrito
, que é equivalente.)
Resposta
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)