Conclusão deste passo: as derivadas parciais em (0,0) existem e valem
f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0.
Passo 3
Relembrando a definição de diferenciabilidade em uma função de duas variáveis: f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, colocando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
Se esse limite for distinto de 0 (ou não existir), então f não é diferenciável em (0,0).
Passo 4
Testar o limite acima por caminhos que aproximam (0,0). Uma escolha simples é aproximar pela reta y=kx, com k constante real. Substituindo y=kx (e x\neq0) em f obtemos:
O lado direito é uma constante que depende apenas de k, e não depende de x.
Para k=0 essa constante vale 0 (o que corresponde ao caminho y=0), mas para qualquer k\neq0 a constante é estritamente positiva. Por exemplo, para k=1 obtemos
assume valores diferentes conforme o caminho (por exemplo dá 0 quando k=0 e dá uma constante positiva quando k\neq0), esse limite não é 0. Logo a condição necessária para diferenciabilidade (com L dado pelas parciais) falha. Assim, f não é diferenciável em (0,0).
Um comentário didático rápido e motivador: encontrar derivadas parciais iguais a zero é só uma primeira pista — não garante diferenciabilidade. É preciso verificar o comportamento da função em todas as direções (ou, equivalentemente, a condição do resto ser o(r)). Neste problema a função tem comportamento linear em algumas direções diferentes do eixo, o que impede o resto ser pequeno o suficiente.