Questão 4 (2-ponto) Seja a função dada por
f(x, y)=\left\{\begin{array}{cl} \frac{x y}{\sqrt{3 x^{2}+y^{2}}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\\ 0, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array}\right.
f é diferenciável na origem?

Passo 1

O enunciado nos dá a função
f(x,y)=\begin{cases} \dfrac{x y}{\sqrt{3x^{2}+y^{2}}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] 0, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
A pergunta é: f é diferenciável na origem (0,0)?
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • A expressão de f(x,y) para (x,y)\neq(0,0).
  • O valor de f em (0,0) é 0.
  • Nada mais é fornecido; a decisão depende do comportamento de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0).]

Passo 2

Calcular as derivadas parciais em (0,0) (porque, se f for diferenciável, as parciais existem e determinam o mapa linear aproximante).
Definição de derivada parcial em (0,0):
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h},\qquad f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{f(0,h)-f(0,0)}{h}.
Calcule f(h,0) para h\neq0. Substituindo y=0 na expressão de f obtém-se
f(h,0)=\frac{h\cdot 0}{\sqrt{3h^{2}+0^{2}}}=0.
Portanto
f_x(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Calcule f(0,h) para h\neq0. Substituindo x=0 obtemos
f(0,h)=\frac{0\cdot h}{\sqrt{3\cdot 0^{2}+h^{2}}}=0.
Logo
f_y(0,0)=\lim_{h\to0}\frac{0-0}{h}=0.
Conclusão deste passo: as derivadas parciais em (0,0) existem e valem
f_x(0,0)=0,\qquad f_y(0,0)=0.

Passo 3

Relembrando a definição de diferenciabilidade em uma função de duas variáveis: f é diferenciável em (0,0) se existe um mapa linear L:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R} tal que, colocando r=\sqrt{x^{2}+y^{2}},
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)-f(0,0)-L(x,y)}{r}=0.
Quando as derivadas parciais existem, o candidato natural a L é
L(x,y)=f_x(0,0)\,x+f_y(0,0)\,y.
Das derivadas do passo anterior temos L(x,y)=0. Assim, a condição de diferenciabilidade na origem equivale a
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}=0.
Se esse limite for distinto de 0 (ou não existir), então f não é diferenciável em (0,0).

Passo 4

Testar o limite acima por caminhos que aproximam (0,0). Uma escolha simples é aproximar pela reta y=kx, com k constante real. Substituindo y=kx (e x\neq0) em f obtemos:
f(x,kx)=\frac{x\cdot (kx)}{\sqrt{3x^{2}+(kx)^{2}}} =\frac{kx^{2}}{|x|\sqrt{3+k^{2}}} =\frac{k|x|}{\sqrt{3+k^{2}}},
onde se usou x^{2}/|x|=|x|.
O raio r=\sqrt{x^{2}+y^{2}} ao longo de y=kx é
r=\sqrt{x^{2}+k^{2}x^{2}}=|x|\sqrt{1+k^{2}}.
Agora a razão que interessa é
\frac{|f(x,kx)|}{r} =\frac{\left|\dfrac{k|x|}{\sqrt{3+k^{2}}}\right|}{|x|\sqrt{1+k^{2}}} =\frac{|k|}{\sqrt{3+k^{2}}\;\sqrt{1+k^{2}}}.
Observações importantes:
  • O lado direito é uma constante que depende apenas de k, e não depende de x.
  • Para k=0 essa constante vale 0 (o que corresponde ao caminho y=0), mas para qualquer k\neq0 a constante é estritamente positiva. Por exemplo, para k=1 obtemos
\frac{|f(x,x)|}{r}=\frac{1}{\sqrt{4}\sqrt{2}}=\frac{1}{2\sqrt{2}}\neq0.
Portanto, ao aproximar (0,0) por pontos da reta y=kx com k\neq0, a razão \dfrac{|f(x,y)|}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}} tende a uma constante positiva, não a 0.

Passo 5

Conclusão lógica: como
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{f(x,y)}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
assume valores diferentes conforme o caminho (por exemplo dá 0 quando k=0 e dá uma constante positiva quando k\neq0), esse limite não é 0. Logo a condição necessária para diferenciabilidade (com L dado pelas parciais) falha. Assim, f não é diferenciável em (0,0).
Um comentário didático rápido e motivador: encontrar derivadas parciais iguais a zero é só uma primeira pista — não garante diferenciabilidade. É preciso verificar o comportamento da função em todas as direções (ou, equivalentemente, a condição do resto ser o(r)). Neste problema a função tem comportamento linear em algumas direções diferentes do eixo, o que impede o resto ser pequeno o suficiente.

Resposta

Não. f não é diferenciável em (0,0).

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