Calcule \int_{1}^{7} x^{2} d x usando a regra do trapezio. Em seguida, calcule a estimativa de erro.

Passo 1

O enunciado pede para aproximar \int_{1}^{7}x^{2}\,dx usando a regra do trapézio e, em seguida, estimar o erro dessa aproximação. O conteúdo que vamos usar é a fórmula do trapézio para um subintervalo e o termo de erro em função de f''.

Passo 2

Com um único trapézio (ou seja, n=1), a regra do trapézio é
T \;=\;\frac{b-a}{2}\,\bigl(f(a)+f(b)\bigr).

Passo 3

Substituindo a=1, b=7 e f(x)=x^2, obtemos
T = \frac{7-1}{2}\bigl(f(1)+f(7)\bigr) = \frac{6}{2}\bigl(1^2+7^2\bigr) = 3\cdot 50 = 150.

Passo 4

O erro do trapézio com n subintervalos pode ser escrito como
E_T = -\frac{(b-a)^3}{12\,n^2}\,f''(\xi),
para algum \xi\in[1,7]. Aqui f(x)=x^2 implica f''(x)=2, que é constante, logo \max_{[1,7]}|f''(x)|=2.

Passo 5

Assim, o módulo do erro satisfaz
|E_T|\le \frac{(7-1)^3}{12\cdot 1^2}\cdot 2 = \frac{216}{12}\cdot 2 = 18\cdot 2 = 36.

Resposta

A aproximação pelo trapézio é 150 e a estimativa de erro é 36.

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