Seja f \in C^{4}[a, b]. A fórmula da Regra de Simpson 1 / 3 para a integral
\int_{a}^{b} f(x) d x
\operatorname{com} n par é dada por:
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 \sum_{i \text { impar }} f\left(x_{i}\right)+2 \sum_{\substack{i \text { par } \\\ i \neq 0, n}} f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{n}\right)\right],
onde h=\frac{b-a}{n}.
(a) Deduzir uma expressão para o erro global E_{S} da Regra de Simpson 1 / 3, utilizando o Teorema do Erro.
(b) Aplicar o resultado para a função f(x)=\ln (x+1), no intervalo [0,1], \operatorname{com} n=4.

Passo 1

O enunciado trata da regra composta de Simpson 1/3 para aproximar
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
com n subintervalos de largura h=(b-a)/n, assumindo n par.
Queremos, em (a), deduzir uma expressão do erro global E_{S} (definido como E_{S}=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx - S, onde S é a soma de Simpson) usando o Teorema do Erro. Em (b), aplicar esse resultado a f(x)=\ln(x+1) no intervalo [0,1] com n=4.

Passo 2

Em cada par de subintervalos [x_{2k},x_{2k+2}] de comprimento 2h, usamos o Teorema de Taylor com resto integral para escrever
\int_{x_{2k}}^{x_{2k+2}} f(x)\,dx = S_k \;+\; E_{k},
onde S_k é a simpson local e o erro local, por Taylor até grau 3 mais resto, vem
E_{k} = -\frac{(2h)^{5}}{2880}\,f^{(4)}(\xi_k) \quad\text{para algum }\xi_k\in[x_{2k},x_{2k+2}].

Passo 3

Somando sobre todos os n/2 pares de subintervalos, o erro global é
E_{S} =\sum_{k=0}^{n/2-1} E_{k} =-\sum_{k=0}^{n/2-1}\frac{32\,h^{5}}{2880}\,f^{(4)}(\xi_k) =-\frac{32\,h^{5}}{2880}\sum_{k=0}^{n/2-1}f^{(4)}(\xi_k).
Pelo Teorema do Valor Médio para somas, existe \xi\in(a,b) tal que \sum f^{(4)}(\xi_k)=(n/2)\,f^{(4)}(\xi). Como n\,h=b-a, obtemos

Passo 4

E_{S} =-\frac{32\,h^{5}}{2880}\,\frac{n}{2}\,f^{(4)}(\xi) =-\frac{(b-a)\,h^{4}}{180}\;f^{(4)}(\xi),
ou seja, a fórmula do erro global da regra composta de Simpson 1/3 é
\boxed{% E_{S} =\int_{a}^{b}f(x)\,dx - S =-\frac{(b-a)\,h^{4}}{180}\;f^{(4)}(\xi), \quad \xi\in(a,b).}

Passo 5

Agora seja f(x)=\ln(x+1) em [0,1]. Calculamos a quarta derivada:
f'(x)=\frac1{x+1},\quad f''(x)=-\frac1{(x+1)^2},\quad f^{(3)}(x)=\frac{2}{(x+1)^3},\quad f^{(4)}(x)=-\frac{6}{(x+1)^4}.
No intervalo [0,1] o valor \lvert f^{(4)}(x)\rvert atinge o máximo em x=0, ou seja
\max_{[0,1]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr| =\frac{6}{(0+1)^4}=6.

Passo 6

Com a=0, b=1, n=4 temos h=(1-0)/4=0.25. Substituindo na fórmula do erro em valor absoluto:
\bigl|E_{S}\bigr| \le \frac{(b-a)\,h^{4}}{180}\,\max_{[0,1]}\bigl|f^{(4)}(x)\bigr| =\frac{1\cdot(0.25)^{4}}{180}\;6 =\frac{6}{180\cdot 256} =\frac{6}{46080} =\frac{1}{7680} \approx1.3021\times10^{-4}.

Resposta

E_{S}=-\dfrac{(b-a)\,h^{4}}{180}\,f^{(4)}(\xi).
Para f(x)=\ln(x+1) em [0,1] com n=4, tem-se
\bigl|E_{S}\bigr|\le \frac{1}{7680}\approx1{,}30\times10^{-4}.

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