Seja f \in C^{4}[a, b]. A fórmula da Regra de Simpson 1 / 3 para a integral
\int_{a}^{b} f(x) d x
\operatorname{com} n par é dada por:
\int_{a}^{b} f(x) d x \approx \frac{h}{3}\left[f\left(x_{0}\right)+4 \sum_{i \text { impar }} f\left(x_{i}\right)+2 \sum_{\substack{i \text { par } \\\ i \neq 0, n}} f\left(x_{i}\right)+f\left(x_{n}\right)\right],
onde h=\frac{b-a}{n}.
(a) Deduzir uma expressão para o erro global E_{S} da Regra de Simpson 1 / 3, utilizando o Teorema do Erro.
(b) Aplicar o resultado para a função f(x)=\ln (x+1), no intervalo [0,1], \operatorname{com} n=4.
Passo 1
O enunciado trata da regra composta de Simpson 1/3 para aproximar
\int_{a}^{b} f(x)\,dx
com n subintervalos de largura h=(b-a)/n, assumindo n par.
Queremos, em (a), deduzir uma expressão do erro global E_{S} (definido como E_{S}=\displaystyle\int_a^b f(x)\,dx - S, onde S é a soma de Simpson) usando o Teorema do Erro. Em (b), aplicar esse resultado a f(x)=\ln(x+1) no intervalo [0,1] com n=4.
Passo 2
Em cada par de subintervalos [x_{2k},x_{2k+2}] de comprimento 2h, usamos o Teorema de Taylor com resto integral para escrever