Calcule:
\int_{0}^{1} a x^{n}+b x^{m}+c d x, a, b, c \in \mathbb{R}, n, m \geq 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{1}\bigl(a\,x^{n}+b\,x^{m}+c\bigr)\,dx,
sendo a,b,c\in\mathbb{R} e n,m\ge1. O conteúdo necessário é o uso da linearidade da integral e da fórmula da antiderivada de potências e de constante.

Passo 2

Pela linearidade da integral, separamos em três integrais mais simples:
\int_{0}^{1}\bigl(a\,x^{n}+b\,x^{m}+c\bigr)\,dx = a\int_{0}^{1}x^{n}\,dx \;+\; b\int_{0}^{1}x^{m}\,dx \;+\; c\int_{0}^{1}1\,dx.

Passo 3

Calculamos cada uma:
\int_{0}^{1}x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{n+1},
\int_{0}^{1}x^{m}\,dx = \frac{x^{m+1}}{m+1}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{m+1},
\int_{0}^{1}1\,dx = x\Big|_{0}^{1} = 1.
Logo,
a\int_{0}^{1}x^{n}\,dx = \frac{a}{n+1},\quad b\int_{0}^{1}x^{m}\,dx = \frac{b}{m+1},\quad c\int_{0}^{1}1\,dx = c.

Passo 4

Somando os resultados, obtemos
\int_{0}^{1}\bigl(a\,x^{n}+b\,x^{m}+c\bigr)\,dx = \frac{a}{n+1} \;+\; \frac{b}{m+1} \;+\; c.

Resposta

\frac{a}{n+1} + \frac{b}{m+1} + c

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