Calcule:
\int_{0}^{1} e^{-2 x} \operatorname{sen} x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{1} e^{-2x}\sin x\,dx.
Esse tipo de integral combina uma exponencial com uma função trigonométrica, então vamos usar integração por partes duas vezes para encontrar a primitiva.

Passo 2

Defina
I = \int e^{-2x}\sin x\,dx.
Para aplicar integração por partes, escolha
u = e^{-2x},\quad dv = \sin x\,dx.
Então
du = -2e^{-2x}\,dx,\quad v = -\cos x.
Logo,
I = u\,v - \int v\,du = -e^{-2x}\cos x - \int\bigl(-\cos x\bigr)\bigl(-2e^{-2x}\bigr)\,dx = -e^{-2x}\cos x -2\int e^{-2x}\cos x\,dx.
Defina também
J = \int e^{-2x}\cos x\,dx.

Passo 3

Agora integramos J por partes, com
u = e^{-2x},\quad dv = \cos x\,dx
de modo que
du = -2e^{-2x}\,dx,\quad v = \sin x.
Temos
J = e^{-2x}\sin x - \int \sin x\bigl(-2e^{-2x}\bigr)\,dx = e^{-2x}\sin x +2\int e^{-2x}\sin x\,dx = e^{-2x}\sin x +2I.

Passo 4

Voltando à expressão de I, temos
I = -e^{-2x}\cos x -2J = -e^{-2x}\cos x -2\bigl(e^{-2x}\sin x +2I\bigr) = -e^{-2x}\cos x -2e^{-2x}\sin x -4I.
Reagrupando termos em I:
5I = -e^{-2x}\bigl(\cos x +2\sin x\bigr) \quad\Longrightarrow\quad I = -\frac{e^{-2x}}{5}\bigl(\cos x +2\sin x\bigr).

Passo 5

Agora calculamos a integral definida, avaliando a primitiva de 0 a 1:
\int_{0}^{1} e^{-2x}\sin x\,dx = \left.-\frac{e^{-2x}}{5}\bigl(\cos x +2\sin x\bigr)\right|_{0}^{1}.
Em x=1:
-\frac{e^{-2}}{5}\bigl(\cos1 +2\sin1\bigr),
e em x=0:
-\frac{e^{0}}{5}\bigl(\cos0 +2\sin0\bigr) = -\frac{1}{5}\bigl(1+0\bigr) = -\frac{1}{5}.
Subtraindo (valor em 1 menos valor em 0):
-\frac{e^{-2}}{5}\bigl(\cos1 +2\sin1\bigr) \;-\;\bigl(-\tfrac{1}{5}\bigr) = \frac{1}{5} - \frac{e^{-2}}{5}\bigl(\cos1 +2\sin1\bigr).

Resposta

\int_{0}^{1} e^{-2x}\sin x\,dx = \frac{1 - e^{-2}\bigl(\cos1 +2\sin1\bigr)}{5}.

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