Calcule:
\int_{1}^{\pi} e^{x} \cos x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int_{1}^{\pi} e^{x}\cos x\,dx
O conteúdo principal é integração por partes aplicada duas vezes para obter uma fórmula fechada para
\displaystyle\int e^{x}\cos x\,dx.

Passo 2

Definimos
I = \int e^{x}\cos x\,dx.
Fazendo integração por partes com
\displaystyle u = \cos x, \displaystyle dv = e^{x}dx
vem
\displaystyle du = -\sin x\,dx, \displaystyle v = e^{x},
logo
I = e^{x}\cos x - \int e^{x}(-\sin x)\,dx = e^{x}\cos x + \int e^{x}\sin x\,dx.
Chame
J = \int e^{x}\sin x\,dx.
Aplicando partes em J com
\displaystyle u = \sin x, \displaystyle dv = e^{x}dx
(obtém-se \displaystyle du=\cos x\,dx, \displaystyle v=e^{x}), temos
J = e^{x}\sin x - \int e^{x}\cos x\,dx = e^{x}\sin x - I.
Substituindo em I,
I = e^{x}\cos x + J = e^{x}\cos x + \bigl(e^{x}\sin x - I\bigr) = e^{x}(\cos x + \sin x) - I,
portanto
2I = e^{x}(\sin x + \cos x) \quad\Longrightarrow\quad I = \frac{e^{x}}{2}\,(\sin x + \cos x) + C.

Passo 3

Agora a integral definida vem de
F(x) = \frac{e^{x}}{2}\,(\sin x + \cos x)
e calculamos
\int_{1}^{\pi} e^{x}\cos x\,dx = F(\pi) - F(1).
Note que \sin\pi = 0 e \cos\pi = -1, então
F(\pi) = \frac{e^{\pi}}{2}\,(0 + (-1)) = -\frac{e^{\pi}}{2},
e
F(1) = \frac{e^{1}}{2}\,\bigl(\sin 1 + \cos 1\bigr).

Resposta

\int_{1}^{\pi} e^{x}\cos x\,dx = -\frac{e^{\pi}}{2} - \frac{e}{2}\,\bigl(\sin 1 + \cos 1\bigr).

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