Calcule \int_{3}^{4} \int_{-1}^{1} \int_{0}^{2} x y^{2}+y z^{3} d z d x d y.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral tripla
\int_{3}^{4}\int_{-1}^{1}\int_{0}^{2} x y^{2} + y z^{3}\, dz\, dx\, dy.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são, na ordem z, x, y:
    • 0 \le z \le 2,
    • -1 \le x \le 1,
    • 3 \le y \le 4.
  • A função a integrar é x y^{2} + y z^{3}.
  • A ordem de integração indicada é dz (integração em z), depois dx, depois dy.

Passo 2

Conceitos e propriedades que vou usar (explicadinhos):
  • Linearidade da integral: para funções f e g vale \int (f+g)=\int f + \int g, \qquad \int c\cdot f = c\int f,onde c é constante em relação à variável de integração.
  • Ao integrar em relação a uma variável, as outras variáveis são tratadas como constantes. Por exemplo, ao integrar em z, x e y são constantes.
  • Para integrar potências de z: \int z^{n}\,dz = \frac{z^{n+1}}{n+1} \quad (n\neq -1).
  • Para funções ímpares integradas em um intervalo simétrico [-a,a], a integral é zero: \int_{-a}^{a} x\,dx = 0,porque a área positiva à direita cancela a negativa à esquerda.
Vou aplicar integração iterada (integrar primeiro em z, depois em x, por fim em y), usando a linearidade para separar termos.

Passo 3

Integro primeiro em z (de 0 até 2). A função é x y^{2} + y z^{3}.
  • O termo x y^{2} é constante em z, logo \int_{0}^{2} x y^{2}\,dz = x y^{2}\int_{0}^{2} dz = x y^{2}\cdot(2-0)=2x y^{2}.
  • O termo y z^{3}, com y constante, dá \int_{0}^{2} y z^{3}\,dz = y\int_{0}^{2} z^{3}\,dz = y\left[\frac{z^{4}}{4}\right]_{0}^{2} = y\cdot\frac{2^{4}-0}{4} = y\cdot\frac{16}{4} =4y.
Somando os dois resultados:
\int_{0}^{2} \bigl(x y^{2} + y z^{3}\bigr)\,dz = 2x y^{2} + 4y.

Passo 4

Agora integro em x no intervalo [-1,1] a função obtida 2x y^{2} + 4y.
  • Para o primeiro termo: \int_{-1}^{1} 2x y^{2}\,dx = 2 y^{2}\int_{-1}^{1} x\,dx.Calculo \int_{-1}^{1} x\,dx: \int_{-1}^{1} x\,dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{2}}{2}-\frac{(-1)^{2}}{2} = \frac{1}{2}-\frac{1}{2}=0.Logo o termo com x some: \int_{-1}^{1} 2x y^{2}\,dx = 2 y^{2}\cdot 0 = 0.
  • Para o segundo termo 4y (que é constante em x): \int_{-1}^{1} 4y\,dx = 4y \int_{-1}^{1} dx = 4y\cdot (1-(-1)) = 4y\cdot 2 = 8y.
Portanto, após integrar em x obtemos a função de y:
\int_{-1}^{1} \bigl(2x y^{2} + 4y\bigr)\,dx = 8y.

Passo 5

Finalmente integro em y de 3 a 4 a função 8y:
\int_{3}^{4} 8y\,dy = 8\int_{3}^{4} y\,dy =8\left[\frac{y^{2}}{2}\right]_{3}^{4} =8\cdot\frac{4^{2}-3^{2}}{2} =8\cdot\frac{16-9}{2} =8\cdot\frac{7}{2} =28.

Resposta

28

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