Calcule
.
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral tripla
Informações dadas:
- Os limites de integração são, na ordem
, , : -
, -
, -
.
-
- A função a integrar é
. - A ordem de integração indicada é
(integração em ), depois , depois .
Passo 2
Conceitos e propriedades que vou usar (explicadinhos):
- Linearidade da integral: para funções
e vale onde é constante em relação à variável de integração. - Ao integrar em relação a uma variável, as outras variáveis são tratadas como constantes. Por exemplo, ao integrar em
, e são constantes. - Para integrar potências de
: - Para funções ímpares integradas em um intervalo simétrico
, a integral é zero: porque a área positiva à direita cancela a negativa à esquerda.
Vou aplicar integração iterada (integrar primeiro em
, depois em
, por fim em
), usando a linearidade para separar termos.
Passo 3
Integro primeiro em
(de
até
). A função é
.
- O termo
é constante em , logo - O termo
, com constante, dá
Somando os dois resultados:
Passo 4
Agora integro em
no intervalo
a função obtida
.
- Para o primeiro termo:
Calculo : Logo o termo com some: - Para o segundo termo
(que é constante em ):
Portanto, após integrar em
obtemos a função de
:
Passo 5
Finalmente integro em
de
a
a função
: