Calcule \int \frac{1}{x^{3} \sqrt{x^{2}-16}} d x.

Passo 1

O que o problema pede e o que temos:
  • Pede calcular a integral indefinida \displaystyle \int \frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-16}}\,dx.
  • Informação importante sobre domínio: dentro da raiz temos x^{2}-16, então é necessário x^{2}>16, isto é \lvert x\rvert>4. Para simplificar a escrita e as escolhas das substituições, vou trabalhar no caso x>4 (o caso x<-4 pode ser tratado de forma análoga com cuidados de sinais).
  • Não há outros dados; a estratégia provável é usar uma substituição trigonométrica para \sqrt{x^{2}-a^{2}}.

Passo 2

Escolha e justificativa da substituição:
  • Para raízes do tipo \sqrt{x^{2}-a^{2}} a substituição padrão é x=a\operatorname{sec}\theta. Aqui a=4, então escolho
x = 4\operatorname{sec}\theta.
  • Motivação: com essa escolha:
\sqrt{x^{2}-16}=\sqrt{16\operatorname{sec}^{2}\theta-16}=4\sqrt{\operatorname{sec}^{2}\theta-1}=4\tan\theta,
o que simplifica bem a raiz. Também teremos uma expressão simples para dx.
  • Derivando a substituição:
dx = 4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
  • Observação do domínio da nova variável: se x>4 então \operatorname{sec}\theta>1 e podemos escolher \theta\in\bigl(0,\tfrac{\pi}{2}\bigr) de modo que \tan\theta>0 e todas as raízes e sinais sejam consistentes.

Passo 3

Fazer a substituição na integral:
  • Escrevendo cada peça em termos de \theta:
x^{3}=(4\operatorname{sec}\theta)^{3}=64\operatorname{sec}^{3}\theta, \qquad \sqrt{x^{2}-16}=4\tan\theta, \qquad dx=4\operatorname{sec}\theta\tan\theta\,d\theta.
  • Substituindo na integral:
\int \frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-16}}\,dx = \int \frac{1}{64\operatorname{sec}^{3}\theta\cdot 4\tan\theta}\cdot (4\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta.
  • Simplificando fatores idênticos ( 4\operatorname{sec}\theta\tan\theta no numerador e 4\tan\theta no denominador):
\int \frac{1}{64\operatorname{sec}^{3}\theta\cdot 4\tan\theta}\cdot (4\operatorname{sec}\theta\tan\theta)\,d\theta = \int \frac{4\operatorname{sec}\theta\tan\theta}{256\operatorname{sec}^{3}\theta\tan\theta}\,d\theta = \int \frac{4}{256}\cdot\frac{1}{\operatorname{sec}^{2}\theta}\,d\theta.
  • Como 1/\operatorname{sec}^{2}\theta=\cos^{2}\theta e 4/256=1/64, obtemos
\int \frac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-16}}\,dx = \frac{1}{64}\int \cos^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integrar \cos^{2}\theta usando identidade de redução:
  • Identidade trigonométrica útil:
\cos^{2}\theta=\frac{1+\cos(2\theta)}{2}.
  • Portanto
\frac{1}{64}\int \cos^{2}\theta\,d\theta = \frac{1}{64}\int \frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta = \frac{1}{128}\int \bigl(1+\cos(2\theta)\bigr)\,d\theta.
  • Integrando termo a termo:
\frac{1}{128}\Bigl(\theta + \frac{1}{2}\sin(2\theta)\Bigr)+C.
  • Usando \sin(2\theta)=2\sin\theta\cos\theta temos \tfrac{1}{2}\sin(2\theta)=\sin\theta\cos\theta. Assim a primitiva em \theta fica
\frac{1}{128}\bigl(\theta + \sin\theta\cos\theta\bigr)+C.

Passo 5

Voltar para a variável x (substituição inversa):
  • Lembrando x=4\operatorname{sec}\theta temos \operatorname{sec}\theta=\dfrac{x}{4} e portanto
\cos\theta=\frac{4}{x}.
  • Como estamos assumindo x>4 (logo \theta\in(0,\tfrac{\pi}{2})), \sin\theta é positivo e
\sin\theta=\sqrt{1-\cos^{2}\theta}=\sqrt{1-\frac{16}{x^{2}}}=\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}.
  • Agora calcule \sin\theta\cos\theta:
\sin\theta\cos\theta=\frac{4}{x}\cdot\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x}=\frac{4\sqrt{x^{2}-16}}{x^{2}}.
  • E \theta pode ser escrito como \theta=\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{x}\bigr) (ou, alternativamente, \theta=\operatorname{arcsec}\!\bigl(\tfrac{x}{4}\bigr)).

Passo 6

Substituir tudo na primitiva e simplificar:
  • Substituindo \theta e \sin\theta\cos\theta obtemos
\frac{1}{128}\Bigl(\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{x}\bigr) + \frac{4\sqrt{x^{2}-16}}{x^{2}}\Bigr) + C.
  • Podemos separar o fator 1/128 no segundo termo: \dfrac{1}{128}\cdot 4=\dfrac{1}{32}. Portanto uma forma mais compacta é
\frac{1}{128}\operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{x}\bigr) + \frac{1}{32}\,\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x^{2}} + C.
  • Pequena verificação mental: derivando essa expressão recupera-se \dfrac{1}{x^{3}\sqrt{x^{2}-16}}, como esperado (verificação detalhada é possível efetuando a derivada passo a passo).

Resposta

\displaystyle \frac{1}{128}\operatorname{arccos}\!\biggl(\frac{4}{x}\biggr)+\frac{1}{32}\,\frac{\sqrt{x^{2}-16}}{x^{2}}+C (válido para x>4).

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