Calcule
.
Passo 1
O que o problema pede e o que temos:
- Pede calcular a integral indefinida
. - Informação importante sobre domínio: dentro da raiz temos
, então é necessário , isto é . Para simplificar a escrita e as escolhas das substituições, vou trabalhar no caso (o caso pode ser tratado de forma análoga com cuidados de sinais). - Não há outros dados; a estratégia provável é usar uma substituição trigonométrica para
.
Passo 2
Escolha e justificativa da substituição:
- Para raízes do tipo
a substituição padrão é . Aqui , então escolho
- Motivação: com essa escolha:
o que simplifica bem a raiz. Também teremos uma expressão simples para
.
- Derivando a substituição:
- Observação do domínio da nova variável: se
então e podemos escolher de modo que e todas as raízes e sinais sejam consistentes.
Passo 3
Fazer a substituição na integral:
- Escrevendo cada peça em termos de
:
- Substituindo na integral:
- Simplificando fatores idênticos (
no numerador e no denominador):
- Como
e , obtemos
Passo 4
Integrar
usando identidade de redução:
- Identidade trigonométrica útil:
- Portanto
- Integrando termo a termo:
- Usando
temos . Assim a primitiva em fica
Passo 5
Voltar para a variável
(substituição inversa):
- Lembrando
temos e portanto
- Como estamos assumindo
(logo ), é positivo e
- Agora calcule
:
- E
pode ser escrito como (ou, alternativamente, ).
Passo 6
Substituir tudo na primitiva e simplificar:
- Substituindo
e obtemos
- Podemos separar o fator
no segundo termo: . Portanto uma forma mais compacta é
- Pequena verificação mental: derivando essa expressão recupera-se
, como esperado (verificação detalhada é possível efetuando a derivada passo a passo).