Calcule as integrais abaixo:
\frac{1}{3} \int \frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}} d x

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\frac{1}{3}\int \frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}\,dx.
Informações dadas:
  • Há um fator constante multiplicando a integral: \tfrac{1}{3}.
  • O integrando é \dfrac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}.
  • Podemos reescrever a raiz como potência: \sqrt[4]{x^{3}+2}=(x^{3}+2)^{1/4}.
  • O objetivo final é encontrar uma primitiva (funcão F(x) tal que F'(x) seja o integrando) e apresentar a constante de integração +C.

Passo 2

Reescrevendo o integrando em potências para enxergar um possível método:
\frac{1}{3}\int \frac{x^{2}}{\sqrt[4]{x^{3}+2}}\,dx = \frac{1}{3}\int x^{2}\,(x^{3}+2)^{-1/4}\,dx.
Observa-se que a expressão x^{3}+2 aparece dentro de uma potência e sua derivada é proporcional a x^{2} (porque \frac{d}{dx}(x^{3}+2)=3x^{2}). Essa coincidência sugere usar a substituição do tipo u=x^{3}+2, pois assim o diferencial du vai envolver exatamente x^{2}\,dx, permitindo simplificar a integral. A substituição é uma técnica padrão: escolhe-se u como uma parte do integrando cuja derivada aparece multiplicando o restante.

Passo 3

Aplicando a substituição:
defina u = x^{3}+2.
Calcule o diferencial du:
du = 3x^{2}\,dx.
Logo podemos isolar x^{2}\,dx:
x^{2}\,dx = \frac{1}{3}\,du.

Passo 4

Agora substituímos na integral original. Começamos com a forma reescrita da integranda e trocamos x^{2}\,dx por \frac{1}{3}du e x^{3}+2 por u:
\frac{1}{3}\int x^{2}\,(x^{3}+2)^{-1/4}\,dx = \frac{1}{3}\int (x^{2}\,dx)\;u^{-1/4}.
Substituindo x^{2}\,dx=\frac{1}{3}du
\frac{1}{3}\int \frac{1}{3}u^{-1/4}\,du = \frac{1}{9}\int u^{-1/4}\,du.

Passo 5

Agora precisamos integrar uma potência de u. Lembrete da regra de potência para integrais: para a\neq-1,
\int u^{a}\,du = \frac{u^{a+1}}{a+1}+C.
Aqui a=-\tfrac{1}{4}, então a+1=\tfrac{3}{4}. Assim
\int u^{-1/4}\,du = \frac{u^{3/4}}{3/4}+C = \frac{4}{3}u^{3/4}+C.
Multiplicando pelo fator externo \tfrac{1}{9} obtemos
\frac{1}{9}\cdot\frac{4}{3}u^{3/4}+C = \frac{4}{27}u^{3/4}+C.

Passo 6

Voltando à variável original x usando u=x^{3}+2, a primitiva encontrada é
\frac{4}{27}(x^{3}+2)^{3/4}+C.

Passo 7

Cheque rápido por diferenciação (para ganhar confiança): derivando \frac{4}{27}(x^{3}+2)^{3/4},
\frac{d}{dx}\left[\frac{4}{27}(x^{3}+2)^{3/4}\right] = \frac{4}{27}\cdot\frac{3}{4}(x^{3}+2)^{-1/4}\cdot 3x^{2} = \frac{x^{2}}{3}(x^{3}+2)^{-1/4},
que é exatamente o integrando original dentro do parêntese multiplicado por \tfrac{1}{3}. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{4}{27}(x^{3}+2)^{3/4}+C

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