Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral
Informações dadas:
- Há um fator constante multiplicando a integral:
. - O integrando é
. - Podemos reescrever a raiz como potência:
. - O objetivo final é encontrar uma primitiva (funcão
tal que seja o integrando) e apresentar a constante de integração .
Passo 2
Reescrevendo o integrando em potências para enxergar um possível método:
Observa-se que a expressão
aparece dentro de uma potência e sua derivada é proporcional a
(porque
). Essa coincidência sugere usar a substituição do tipo
, pois assim o diferencial
vai envolver exatamente
, permitindo simplificar a integral. A substituição é uma técnica padrão: escolhe-se
como uma parte do integrando cuja derivada aparece multiplicando o restante.
Passo 3
Aplicando a substituição:
defina .
Calcule o diferencial :
defina
Calcule o diferencial
Logo podemos isolar
:
Passo 4
Agora substituímos na integral original. Começamos com a forma reescrita da integranda e trocamos
por
e
por
:
Substituindo
dá
Passo 5
Agora precisamos integrar uma potência de
. Lembrete da regra de potência para integrais: para
,
Aqui
, então
. Assim
Multiplicando pelo fator externo
obtemos
Passo 6
Voltando à variável original
usando
, a primitiva encontrada é
Passo 7
Cheque rápido por diferenciação (para ganhar confiança): derivando
,
que é exatamente o integrando original dentro do parêntese multiplicado por
. Portanto a primitiva está correta.