Calcule as integrais abaixo:
\int \sqrt{x^{5}+1} \cdot x^{4} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \sqrt{x^{5}+1}\cdot x^{4}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é o produto de \sqrt{x^{5}+1} e x^{4}.
  • O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão F(x) tal que F'(x)=\sqrt{x^{5}+1}\cdot x^{4}.

Passo 2

Observação sobre técnica a usar (sem resolver ainda): quando a integral contém uma função composta do tipo f(g(x)) multiplicada por algo parecido com g'(x), a substituição u=g(x) costuma simplificar muito. A regra de substituição diz que se fizermos \displaystyle u=g(x) e \displaystyle du=g'(x)\,dx, então
\int f(g(x))\,g'(x)\,dx=\int f(u)\,du.
Aqui é natural tentar a substituição
u = x^{5}+1,
porque a derivada de x^{5}+1 é proporcional a x^{4}. Vamos calcular du.

Passo 3

Calcular du a partir de u=x^{5}+1:
du = \frac{d}{dx}(x^{5}+1)\,dx = 5x^{4}\,dx.
Isolando x^{4}\,dx obtemos
x^{4}\,dx = \frac{1}{5}\,du.
Agora substituímos na integral original: a parte \sqrt{x^{5}+1} vira \sqrt{u}=u^{1/2} e x^{4}\,dx vira \dfrac{1}{5}\,du. Assim a integral fica
\int \sqrt{x^{5}+1}\cdot x^{4}\,dx = \int u^{1/2}\cdot\frac{1}{5}\,du = \frac{1}{5}\int u^{1/2}\,du.

Passo 4

Agora usamos a fórmula de potência para integrais: para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1}+C.
Aqui n=\tfrac{1}{2}, portanto
\int u^{1/2}\,du = \frac{u^{3/2}}{3/2} + C = \frac{2}{3}u^{3/2}+C.
Multiplicando pelo fator \tfrac{1}{5} que tínhamos:
\frac{1}{5}\int u^{1/2}\,du = \frac{1}{5}\cdot\frac{2}{3}u^{3/2}+C = \frac{2}{15}u^{3/2}+C.

Passo 5

Voltar à variável x substituindo u=x^{5}+1:
\int \sqrt{x^{5}+1}\cdot x^{4}\,dx = \frac{2}{15}\bigl(x^{5}+1\bigr)^{3/2}+C.
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta pelo regra da cadeia:
\frac{d}{dx}\left[\frac{2}{15}(x^{5}+1)^{3/2}\right] = \frac{2}{15}\cdot\frac{3}{2}(x^{5}+1)^{1/2}\cdot 5x^{4} = \sqrt{x^{5}+1}\cdot x^{4},
o que confirma que a primitiva está correta. Vai dar tudo certo na prova — substituir é uma arma poderosa!

Resposta

\dfrac{2}{15}(x^{5}+1)^{3/2}+C

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