Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas:
- A função a integrar é o produto de
e . - O objetivo é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, isto é, uma expressão
tal que .
Passo 2
Observação sobre técnica a usar (sem resolver ainda): quando a integral contém uma função composta do tipo
multiplicada por algo parecido com
, a substituição
costuma simplificar muito. A regra de substituição diz que se fizermos
e
, então
Aqui é natural tentar a substituição
porque a derivada de
é proporcional a
. Vamos calcular
.
Passo 3
Calcular
a partir de
:
Isolando
obtemos
Agora substituímos na integral original: a parte
vira
e
vira
. Assim a integral fica
Passo 4
Agora usamos a fórmula de potência para integrais: para
,
Aqui
, portanto
Multiplicando pelo fator
que tínhamos:
Passo 5
Voltar à variável
substituindo
:
Verificação rápida (útil na prova): derivando a resposta pelo regra da cadeia:
o que confirma que a primitiva está correta. Vai dar tudo certo na prova — substituir é uma arma poderosa!