Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{x^{2}}{9+x^{2}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva
\int \frac{x^{2}}{9 + x^{2}} \,dx.
O conteúdo principal é manipular a fração para separar em termos mais fáceis e usar as integrais básicas
\displaystyle \int 1\,dx = x e
\displaystyle \int \frac{1}{a^{2}+x^{2}}\,dx = \frac{1}{a}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{a}\bigr).

Passo 2

Reescrevemos o integrando dividindo x^{2} em relação a 9+x^{2}:
\frac{x^{2}}{9 + x^{2}} = \frac{x^{2} + 9 - 9}{9 + x^{2}} = 1 \;-\;\frac{9}{9 + x^{2}}.

Passo 3

Logo a integral se separa em
\int \frac{x^{2}}{9 + x^{2}} \,dx = \int 1\,dx \;-\; 9\int \frac{1}{9 + x^{2}}\,dx.
Usamos
\displaystyle \int 1\,dx = x
e, com a=3,
\displaystyle \int \frac{1}{9 + x^{2}}\,dx = \frac{1}{3}\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr).

Passo 4

Substituindo, obtemos
\int \frac{x^{2}}{9 + x^{2}} \,dx = x \;-\; 9\cdot\frac{1}{3}\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C = x \;-\; 3\,\arctan\!\bigl(\tfrac{x}{3}\bigr) + C.

Resposta

x - 3\arctan\!\Bigl(\frac{x}{3}\Bigr) + C

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