Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{1}{\left(1-9 x^{2}\right)^{\frac{3}{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \frac{1}{\bigl(1-9x^{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}}\,dx.
O conteúdo é técnica de substituição trigonométrica para expressões da forma \bigl(a^{2}-u^{2}\bigr)^{n}.

Passo 2

Observamos que 1-9x^{2}=1-(3x)^{2}. Fazemos a substituição trigonométrica
x = \tfrac{1}{3}\sin\theta, \quad dx = \tfrac{1}{3}\cos\theta\,d\theta,
pois assim 1-9x^{2}=\cos^{2}\theta.

Passo 3

Em função de \theta, o integrando fica
\frac{1}{(1-9x^{2})^{\tfrac{3}{2}}}\,dx = \frac{1}{(\cos^{2}\theta)^{\tfrac{3}{2}}}\,\bigl(\tfrac{1}{3}\cos\theta\,d\theta\bigr) = \tfrac{1}{3}\,\frac{\cos\theta}{\cos^{3}\theta}\,d\theta = \tfrac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.

Passo 4

Integramos em \theta:
\int \tfrac{1}{3}\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta = \tfrac{1}{3}\tan\theta + C.

Passo 5

Volta à variável x. Como \sin\theta=3x e \cos\theta=\sqrt{1-9x^{2}}, temos
\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{3x}{\sqrt{1-9x^{2}}}.
Logo a primitiva é
\tfrac{1}{3}\,\frac{3x}{\sqrt{1-9x^{2}}}+C = \frac{x}{\sqrt{1-9x^{2}}}+C.

Resposta

\int \frac{1}{\bigl(1-9x^{2}\bigr)^{\tfrac{3}{2}}}\,dx = \frac{x}{\sqrt{1-9x^{2}}} + C.

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