Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O que o problema pede: calcular a integral indefinida
Informações dadas: a função integranda é uma exponencial de base
com expoente linear em
. Devemos encontrar uma primitiva (incluir constante de integração
).
Passo 2
Fórmula útil e por que ela vale (mini-aula): para uma base positiva
diferente de
, vale
Explicação:
. Derivando
em relação a
aplica-se a regra da cadeia e obtém-se
. Assim, ao integrar,
onde
é o logaritmo natural de
e
é a constante de integração.
Passo 3
Aplicação da substituição para tratar o expoente linear: faça a troca de variável
Derivando ambos os lados em relação a
,
Substituindo na integral original obtemos
Passo 4
Usando a fórmula do Passo 2 para
:
Portanto
Voltando à variável
pela substituição
, a primitiva fica
Passo 5
Verificação rápida derivando a resposta: seja
. Então
que coincide com a integranda. Logo a primitiva está correta.