Calcule as integrais abaixo:
\int 2^{3 x-1} d x

Passo 1

O que o problema pede: calcular a integral indefinida
\int 2^{3x-1}\,dx.
Informações dadas: a função integranda é uma exponencial de base 2 com expoente linear em x. Devemos encontrar uma primitiva (incluir constante de integração \,C).

Passo 2

Fórmula útil e por que ela vale (mini-aula): para uma base positiva a diferente de 1, vale
\frac{d}{du}\bigl(a^{u}\bigr)=a^{u}\ln a.
Explicação: a^{u}=e^{u\ln a}. Derivando e^{u\ln a} em relação a u aplica-se a regra da cadeia e obtém-se e^{u\ln a}\cdot\ln a=a^{u}\ln a. Assim, ao integrar,
\int a^{u}\,du=\frac{a^{u}}{\ln a}+C,
onde \ln a é o logaritmo natural de a e C é a constante de integração.

Passo 3

Aplicação da substituição para tratar o expoente linear: faça a troca de variável
u=3x-1.
Derivando ambos os lados em relação a x,
du=3\,dx\quad\Rightarrow\quad dx=\frac{du}{3}.
Substituindo na integral original obtemos
\int 2^{3x-1}\,dx=\int 2^{u}\cdot\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int 2^{u}\,du.

Passo 4

Usando a fórmula do Passo 2 para \int 2^{u}\,du:
\int 2^{u}\,du=\frac{2^{u}}{\ln 2}+C.
Portanto
\frac{1}{3}\int 2^{u}\,du=\frac{1}{3}\cdot\frac{2^{u}}{\ln 2}+C=\frac{2^{u}}{3\ln 2}+C.
Voltando à variável x pela substituição u=3x-1, a primitiva fica
\frac{2^{3x-1}}{3\ln 2}+C.

Passo 5

Verificação rápida derivando a resposta: seja F(x)=\dfrac{2^{3x-1}}{3\ln 2}. Então
F'(x)=\frac{1}{3\ln 2}\cdot 2^{3x-1}\cdot\ln 2\cdot 3 = 2^{3x-1},
que coincide com a integranda. Logo a primitiva está correta.

Resposta

\frac{2^{3x-1}}{3\ln 2}+C

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