Calcule as integrais abaixo:
\int \frac{\cos (\sqrt[3]{v})}{\sqrt[3]{v^{2}}} d v

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\cos\!\left(\sqrt[3]{v}\right)}{\sqrt[3]{v^{2}}}\,dv.
Informações relevantes dadas: a função integranda é \dfrac{\cos(\sqrt[3]{v})}{\sqrt[3]{v^{2}}} e a variável de integração é v. Queremos encontrar uma primitiva (a integral indefinida), isto é, uma função F(v) tal que F'(v) seja a integranda.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever as raízes cúbicas em potências, porque isso facilita manipular derivadas e substituições:
\sqrt[3]{v}=v^{1/3},\qquad \sqrt[3]{v^{2}}=v^{2/3}.
Substituindo na integral obtemos
\int \frac{\cos\!\left(v^{1/3}\right)}{v^{2/3}}\,dv.
Isso já deixa a expressão mais explícita para pensar numa substituição.

Passo 3

Procure uma substituição que simplifique a composição v^{1/3}. Uma escolha natural é definir
u=\sqrt[3]{v}=v^{1/3}.
Agora escrevemos v e dv em função de u. Como v=u^{3}, diferenciando ambos os lados obtemos
dv = 3u^{2}\,du.
Também precisamos reescrever v^{2/3} em termos de u. Usando v=u^{3} temos
v^{2/3}=(u^{3})^{2/3}=u^{2}.

Passo 4

Substituímos u, dv e v^{2/3} na integral original:
\int \frac{\cos\!\left(v^{1/3}\right)}{v^{2/3}}\,dv = \int \frac{\cos(u)}{u^{2}}\cdot(3u^{2}\,du).
Observe que u^{2} no numerador do fator dv cancela com u^{2} do denominador, ficando
\int 3\cos(u)\,du.

Passo 5

Agora a integral ficou muito simples. A primitiva de \cos(u) em relação a u é \sin(u). Então
\int 3\cos(u)\,du = 3\sin(u)+C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Voltamos à variável original v usando u=\sqrt[3]{v}. Assim a primitiva em v é
3\sin\!\left(\sqrt[3]{v}\right)+C.

Passo 7

Verificação rápida (para ficar tranquilo): derivando o resultado para checar se volta à integranda,
\frac{d}{dv}\left[3\sin\!\left(v^{1/3}\right)\right] =3\cos\!\left(v^{1/3}\right)\cdot\frac{d}{dv}\big(v^{1/3}\big) =3\cos\!\left(v^{1/3}\right)\cdot\frac{1}{3}v^{-2/3} =\frac{\cos\!\left(v^{1/3}\right)}{v^{2/3}},
que é exatamente a integranda. Está correto.

Resposta

3\sin\!\left(\sqrt[3]{v}\right)+C

Exercícios relacionados