Calcule as integrais abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações relevantes dadas: a função integranda é
e a variável de integração é
. Queremos encontrar uma primitiva (a integral indefinida), isto é, uma função
tal que
seja a integranda.
Passo 2
Primeiro vamos reescrever as raízes cúbicas em potências, porque isso facilita manipular derivadas e substituições:
Substituindo na integral obtemos
Isso já deixa a expressão mais explícita para pensar numa substituição.
Passo 3
Procure uma substituição que simplifique a composição
. Uma escolha natural é definir
Agora escrevemos
e
em função de
. Como
, diferenciando ambos os lados obtemos
Também precisamos reescrever
em termos de
. Usando
temos
Passo 4
Substituímos
,
e
na integral original:
Observe que
no numerador do fator
cancela com
do denominador, ficando
Passo 5
Agora a integral ficou muito simples. A primitiva de
em relação a
é
. Então
onde
é a constante de integração.
Passo 6
Voltamos à variável original
usando
. Assim a primitiva em
é
Passo 7
Verificação rápida (para ficar tranquilo): derivando o resultado para checar se volta à integranda,
que é exatamente a integranda. Está correto.