Calcule as integrais abaixo. integral sen^5(t) cos (t) d t.

Passo 1

Então, a gente precisa calcular a integral . Aqui estamos lidando com funções trigonométricas, especificamente o seno e o cosseno. Para resolver essa integral, vamos usar uma técnica chamada substituição, que é bem útil quando temos uma função composta dentro da integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma parte da integral que podemos chamar de . Olhando para a integral , percebemos que se a gente escolher , a gente facilita bastante a resolução. Isso porque a derivada de é , que já está presente na integral.

Passo 3

Com du = cos(t) , dt , vamos calcular , que é a derivada de em relação a :
Isso significa que pode ser substituído por na integral.

Passo 4

Agora, substituímos integral sin^5(t) cos(t) , dt = integral u^5 , du e na integral original:
Essa é uma integral mais simples de resolver.

Passo 5

Vamos calcular a integral integral u^5 , du = u^66 + C . A regra básica para integrar é aumentar o expoente em 1 e dividir pelo novo expoente:
onde é a constante de integração.

Passo 6

Agora, vamos voltar à variável original, que é u^66 + C = sin^6(t)6 + C . Lembrando que , substituímos de volta:

Resposta

A integral é igual a .

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