Calcule as integrais abaixo.
integral0^1 integral0^raiz1-y^2 integralx^2+y^2^raizx^2+y^2(x y z) d z d x d y

Passo 1

O enunciado pede o valor da integral tripla
integraly=0^1integralx=0^raiz1-y^2integralz=x^2+y^2^raizx^2+y^2(x,y,z),dz,dx,dy
O conteúdo aqui é usar integração iterada em z, depois reduzir a um duplo em x,y e, por fim, facilitar a conta usando coordenadas polares.

Passo 2

Vamos primeiro integrar em z. Para
integralz=a^bx,y,z,dz,
com a=x^2+y^2 e b=raizx^2+y^2, tratamos x,y como constante e obtemos
x,y;integrala^bz,dz = x,y;gl[tfrac12z^2gr]z=a^z=b = tfracx,y2l(b^2-a^2r)
Como b=raizx^2+y^2 e a=x^2+y^2, temos
b^2=x^2+y^2, a^2=(x^2+y^2)^2,
logo a integral em z vira
tfracx,y2l((x^2+y^2)-(x^2+y^2)^2r) =tfrac12,x,y,(x^2+y^2)l(1-(x^2+y^2)r)

Passo 3

Substituindo de volta, sobra o duplo
integraly=0^1integralx=0^raiz1-y^2 tfrac12,x,y,(x^2+y^2)l(1-(x^2+y^2)r),dx,dy

Passo 4

Como a região em (x,y) é o quarto de disco unitário ( x>=0,y>=0,x^2+y^2<=1), mudamos para coordenadas polares:
x=rcostheta, y=rsintheta, dx,dy = r,dr,dtheta, rin[0,1],;thetain[0,tfracpi2]
O integrando em polares fica
tfrac12,(rcostheta)(rsintheta),r^2l(1-r^2r) ;=;tfrac12,r^4costhetasintheta,(1-r^2),
e incluindo o jacobiano r obtemos
tfrac12,r^5costhetasintheta,(1-r^2)

Passo 5

A integral total separa em produto de uma parte angular e outra radial:
integraltheta=0^pi/2!!costhetasintheta,dtheta ;times; integralr=0^1tfrac12,r^5(1-r^2),dr
Calculamos primeiro a parte angular:
integral0^pi/2costhetasintheta,dtheta =integralu=0^1u,du(u=sintheta) =l[tfrac12u^2r]0^1 =tfrac12

Passo 6

Agora a parte radial:
integral0^1r^5(1-r^2),dr =integral0^1(r^5-r^7),dr =l[tfracr^66-tfracr^88r]0^1 =tfrac16-tfrac18 =tfrac124
Não esqueça do fator tfrac12 que estava fora:
tfrac12cdottfrac124=tfrac148
para a parte radial completa.

Passo 7

Multiplicando tudo:
angular times radial = tfrac12 times tfrac148 = tfrac196

Resposta

tfrac196

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