Calcule as integrais abaixo.
Passo 1
O enunciado pede o valor da integral tripla
O conteúdo aqui é usar integração iterada em
, depois reduzir a um duplo em
e, por fim, facilitar a conta usando coordenadas polares.
Passo 2
Vamos primeiro integrar em
. Para
com
e
, tratamos
como constante e obtemos
Como
e
, temos
logo a integral em
vira
Passo 3
Substituindo de volta, sobra o duplo
Passo 4
Como a região em
é o quarto de disco unitário (
), mudamos para coordenadas polares:
O integrando em polares fica
e incluindo o jacobiano
obtemos
Passo 5
A integral total separa em produto de uma parte angular e outra radial:
Calculamos primeiro a parte angular:
Passo 6
Agora a parte radial:
Não esqueça do fator
que estava fora:
para a parte radial completa.
Passo 7
Multiplicando tudo: