Calcule o volume dos sólidos W descritos abaixo.
W=(x, y, z) in R^3 / x^2+y^2+z^2 <= 4, x^2+y^2 <= 2 y

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido W obtido pela interseção da esfera de raio 2 centrada na origem, definida por x^2+y^2+z^2<=4, com o cilindro circular reto paralelo ao eixo z dado por x^2+y^2<=2y. O conteúdo envolve cálculo de volume por integrais triplas, usando coordenadas cilíndricas ou polares no plano xy.

Passo 2

Para entender a projeção em xy, reescrevemos x^2+y^2<=2y como
x^2+(y-1)^2 <=1,
ou seja, é o disco de raio 1 centrado em (0,1). Em coordenadas polares ( x=rcostheta, y=rsintheta) a condição vira
r^2 <=2rsintheta Long<=ftrightarrow r<=2sintheta,
com sintheta>=0, logo thetain[0,pi] e rin[0,2sintheta].

Passo 3

O volume é dado por
V = integral triplaW dV = integral duplaD l(integral-raiz4-r^2^raiz4-r^2 dzr) dA = 2integral duplaD raiz4-r^2,dA,
onde D é a região r<=2sintheta, thetain[0,pi]. Em coordenadas polares isso fica
V = 2integral0^piintegral0^2sintheta raiz4-r^2,r,dr,dtheta

Passo 4

Para calcular integral0^2sintheta rraiz4-r^2,dr usamos u=4-r^2, du=-2r,dr, obtendo
integral0^2sintheta rraiz4-r^2,dr = -12integral4^4-4sin^2thetaraizu,du = 13l(8 -8|cos^3theta|r) = 83l(1-|cos^3theta|r)

Passo 5

Substituindo em V resulta
V = 2integral0^pi 83l(1-|cos^3theta|r),dtheta = 163integral0^pil(1-|cos^3theta|r),dtheta
Como integral0^pi|cos^3theta|,dtheta =2integral0^pi/2cos^3theta,dtheta = 43, segue
integral0^pil(1-|cos^3theta|r),dtheta = pi - 43

Passo 6

Logo
V = 163l(pi - 43r) = 48pi -649

Resposta

V = 48pi -649

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