Calcule as integrais abaixo, usando as técnicas de integração que aprendemos:
integral-pi2^pi cos ^3(theta) sen^2(theta) d theta.

Passo 1

Então, temos que calcular a integral definida de no intervalo de a . Vamos usar técnicas de integração, especificamente a substituição trigonométrica, para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a expressão cos^3(theta) = (1 - sin^2(theta)) cdot cos(theta) . Sabemos que . Além disso, lembramos que . Então:

Passo 3

Substituindo isso na integral original, temos:
integral-pi2^pi (1 - sin^2(theta)) cdot cos(theta) cdot sin^2(theta) , dtheta
Simplificando a expressão dentro da integral:
integral-pi2^pi cos(theta) cdot sin^2(theta) - cos(theta) cdot sin^4(theta) , dtheta

Passo 4

Agora, vamos separar a integral em duas partes:
integral-pi2^pi cos(theta) cdot sin^2(theta) , dtheta - integral-pi2^pi cos(theta) cdot sin^4(theta) , dtheta

Passo 5

Vamos resolver a primeira integral: integral u^2 , du = u^33 + C = sin^3(theta)3 + C .
Usando a substituição , então .
A integral torna-se:

Passo 6

Agora, a segunda integral: integral u^4 , du = u^55 + C = sin^5(theta)5 + C .
Usando a mesma substituição , .
A integral fica:

Passo 7

Voltando às integrais definidas, temos:
[ sin^3(theta)3 ]-pi2^pi - [ sin^5(theta)5 ]-pi2^pi

Passo 8

Vamos calcular cada parte:
Primeira parte:
sin^3(pi)3 - sin^3(-pi2)3 = 03 - (-1)^33 = 0 - (-13) = 13
Segunda parte:
sin^5(pi)5 - sin^5(-pi2)5 = 05 - (-1)^55 = 0 - (-15) = 15

Passo 9

Subtraindo as duas partes:
13 - 15 = 515 - 315 = 215

Resposta

O valor da integral é .

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