Determine se os seguintes itens são verdadeiro ou falso. No caso de ser verdadeiro provar a afirmativa e no caso de ser falso exibir um contra-exemplo.
(g) Se A B = 0, então B A = 0;

Passo 1

Vamos analisar a afirmação: "Se , então ". Estamos trabalhando com matrizes nessa questão. Precisamos verificar se, sempre que a multiplicação de duas matrizes e resulta na matriz zero, a multiplicação na ordem inversa também será zero.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa . Aqui, e são matrizes e a multiplicação delas resulta na matriz zero, que é uma matriz onde todos os elementos são zero.

Passo 3

Agora, a questão pergunta se necessariamente também será igual a zero. Para responder isso, precisamos verificar se essa propriedade sempre se mantém para quaisquer matrizes e .

Passo 4

Vamos usar um contra-exemplo para mostrar que a afirmação é falsa. Um contra-exemplo é quando encontramos um caso específico onde a afirmação não é verdadeira.

Passo 5

Considere as seguintes matrizes:
Vamos calcular :
Então, .

Passo 6

Agora, vamos calcular :
Então, . Mas esse exemplo não serve como contra-exemplo. Vamos tentar com outras matrizes.

Passo 7

Considere agora:
Calculando :
Aqui, não é zero. Vamos ajustar as matrizes para obter mas .

Passo 8

Finalmente, considere:
Calculando :
Aqui, . Precisamos ajustar mais.

Passo 9

Finalmente, um contra-exemplo válido:
Calculando :
Então, .
Calculando :
Aqui, .

Resposta

Falso. Um contra-exemplo é dado pelas matrizes
onde mas .

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