Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado: \int e^{x} \cdot(x+1)^{2} \cdot d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int e^{x}\cdot (x+1)^{2}\,dx.
Informações dadas:
A função a integrar é \,e^{x}(x+1)^{2}.
Deve-se encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda), ou seja, uma antiderivada mais constante de integração.
Passo 2
Observação/ideia do método (sem ainda resolver): quando a integranda é o produto de e^{x} por um polinômio em x, é muito eficaz procurar uma primitiva na forma
e^{x}A(x),
onde A(x) é um polinômio de mesma ou menor ordem do que o polinômio que multiplica e^{x}. Isso porque a regra do produto dá uma relação simples:
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva encontrada está correta.
Passo 6
(Comentário didático rápido — alternativa) Outra forma seria fazer a substituição u=x+1, obter \int e^{x}(x+1)^{2}dx=e^{-1}\int e^{u}u^{2}du e aplicar integração por partes duas vezes; isso dá, após simplificar, o mesmo resultado e^{x}(x^{2}+1)+C. A técnica de “procurar e^{x} vezes um polinômio” é geralmente mais curta e elegante para esses casos.