Calcule as integrais abaixo utilizando o método mais adequado:
\int e^{x} \cdot(x+1)^{2} \cdot d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \displaystyle \int e^{x}\cdot (x+1)^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • A função a integrar é \,e^{x}(x+1)^{2}.
  • Deve-se encontrar uma primitiva (uma função cuja derivada é a integranda), ou seja, uma antiderivada mais constante de integração.

Passo 2

Observação/ideia do método (sem ainda resolver): quando a integranda é o produto de e^{x} por um polinômio em x, é muito eficaz procurar uma primitiva na forma
e^{x}A(x),
onde A(x) é um polinômio de mesma ou menor ordem do que o polinômio que multiplica e^{x}. Isso porque a regra do produto dá uma relação simples:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}A(x)\bigr)=e^{x}A(x)+e^{x}A'(x)=e^{x}\bigl(A(x)+A'(x)\bigr).
Portanto, se for possível achar um polinômio A(x) tal que
A(x)+A'(x)=(x+1)^{2},
então e^{x}A(x) será uma primitiva buscada. Essa abordagem evita integrações por partes repetidas e costuma ser a mais rápida.

Passo 3

Procurando A(x) como polinômio de grau 2 (mesmo grau de (x+1)^{2}). Seja
A(x)=ax^{2}+bx+c.
Calcule A'(x):
A'(x)=2ax+b.
Some A(x)+A'(x):
A(x)+A'(x)=ax^{2}+(b+2a)x+(c+b).
Expanda o lado direito da condição: (x+1)^{2}=x^{2}+2x+1.
Agora iguale coeficientes entre
ax^{2}+(b+2a)x+(c+b)=x^{2}+2x+1.
Igualando coeficientes termo a termo obtemos o sistema linear:
\begin{cases} a=1,\\[4pt] b+2a=2,\\[4pt] c+b=1. \end{cases}]

Passo 4

Resolva o sistema:
  • Da primeira equação vem a=1.
  • Substituindo a=1 na segunda: b+2\cdot1=2\Rightarrow b+2=2\Rightarrow b=0.
  • Substituindo b=0 na terceira: c+0=1\Rightarrow c=1.
Logo
A(x)=x^{2}+0\cdot x+1 = x^{2}+1.

Passo 5

Portanto uma primitiva da integranda é
e^{x}A(x)=e^{x}(x^{2}+1).
Verificação rápida (diferenciação) para garantir que está correta:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x}(x^{2}+1)\bigr)=e^{x}(x^{2}+1)+e^{x}(2x)=e^{x}\bigl(x^{2}+2x+1\bigr)=e^{x}(x+1)^{2},
que é exatamente a integranda. Logo a primitiva encontrada está correta.

Passo 6

(Comentário didático rápido — alternativa) Outra forma seria fazer a substituição u=x+1, obter \int e^{x}(x+1)^{2}dx=e^{-1}\int e^{u}u^{2}du e aplicar integração por partes duas vezes; isso dá, após simplificar, o mesmo resultado e^{x}(x^{2}+1)+C. A técnica de “procurar e^{x} vezes um polinômio” é geralmente mais curta e elegante para esses casos.

Resposta

e^{x}\bigl(x^{2}+1\bigr)+C

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