Determine se a afirmação dada é verdadeira ou falsa. Explique sua resposta.
Os extremos de f(x, y) sujeita à restrição g(x, y)=0 ocorrem em pontos nos quais uma curva de nível de f for tangente à curva de restrição $g(x, y)=0.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Uma função f(x,y).
  • Uma restrição dada pela curva g(x,y)=0.
    Pede para decidir se a afirmação abaixo é verdadeira ou falsa e explicar:
    “Os extremos de f(x,y) sujeitos à restrição g(x,y)=0 ocorrem em pontos nos quais uma curva de nível de f for tangente à curva de restrição g(x,y)=0.”

Passo 2

Vamos explicar o que é cada coisa mencionada, em linguagem simples:
  • Uma curva de nível de f é o conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=c\} para algum c. Geometricamente são linhas onde f tem o mesmo valor.
  • A curva de restrição é \{(x,y)\mid g(x,y)=0\}.
  • “Tangente” entre a curva de nível e a curva de restrição significa que, no ponto de interseção, as duas curvas compartilham a mesma direção tangente (ou seja, têm o mesmo vetor tangente, até escala).

Passo 3

Conceito chave: o gradiente e sua relação com curvas de nível.
  • Definição do gradiente: \nabla f(x,y)=\Big(\dfrac{\partial f}{\partial x},\dfrac{\partial f}{\partial y}\Big).
  • Propriedade: em um ponto onde f é diferenciável e onde a curva de nível f(x,y)=c é suave, o vetor \nabla f é perpendicular (normal) à curva de nível naquele ponto. Explicação rápida: se \mathbf r(t) é uma parametrização da curva de nível com \mathbf r(t_0)=(x_0,y_0), então f(\mathbf r(t)) é constante e \dfrac{d}{dt}f(\mathbf r(t))\big|_{t_0}=0. Pela regra da cadeia,
\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf r'(t_0)=0,
logo \nabla f é ortogonal ao vetor tangente \mathbf r'(t_0).

Passo 4

Mesmo raciocínio para a curva de restrição: se g é diferenciável e a curva g(x,y)=0 é suave no ponto (x_0,y_0), então \nabla g(x_0,y_0) é normal à curva de restrição naquele ponto, porque g(\mathbf r(t)) é constante ao longo da curva.

Passo 5

Derivação da condição necessária para extremos sujeitos à restrição (argumento clássico — Lagrange em forma elementar):
  • Considere uma parametrização suave \mathbf r(t) da curva g(x,y)=0 tal que \mathbf r(t_0)=(x_0,y_0).
  • A função restrita à curva é h(t)=f(\mathbf r(t)). Se (x_0,y_0) é um extremo de f sob a restrição, então h tem extremo em t_0, logo h'(t_0)=0.
  • Pela regra da cadeia,
h'(t_0)=\nabla f(x_0,y_0)\cdot \mathbf r'(t_0)=0.
  • Já que \mathbf r'(t_0) é tangente à curva de restrição, também vale
\nabla g(x_0,y_0)\cdot \mathbf r'(t_0)=0.
  • Portanto \nabla f(x_0,y_0) e \nabla g(x_0,y_0) são ambos ortogonais ao mesmo vetor \mathbf r'(t_0). Logo eles são paralelos: existe \lambda tal que
\nabla f(x_0,y_0)=\lambda\,\nabla g(x_0,y_0).
  • Geometricamente, como \nabla f e \nabla g são normais às suas curvas de nível respectivas, o fato de serem paralelos implica que as curvas de nível de f e a curva g=0 têm a mesma normal — isto é, elas são tangentes entre si naquele ponto.

Passo 6

Interpretação do resultado acima:
  • Conclusão: sob hipóteses de diferenciabilidade e desde que a curva de restrição seja suave no ponto (isto é, \nabla g(x_0,y_0)\neq \mathbf 0), a tangência entre a curva de nível de f e a curva de restrição é uma condição necessária para que haja extremo de f sob a restrição.
  • Esta é exatamente a condição clássica dos multiplicadores de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g.

Passo 7

Ressalvas importantes (muito importantes para a prova):
  1. Regularidade da restrição: se \nabla g(x_0,y_0)=\mathbf 0 (ponto singular da curva g=0), a argumentação acima falha porque a curva pode não ser suave ali e a noção de “tangente” pode não existir. Nesses casos um extremo restrito pode ocorrer sem que se fale em tangência da maneira acima. Exemplo simples: g(x,y)=x^2+y^2 tem g=0 apenas em (0,0) e \nabla g(0,0)=\mathbf 0; qualquer análise precisa tratar esse ponto à parte.
  2. Necessária, não suficiente: a condição de tangência (ou \nabla f=\lambda\nabla g) é uma condição necessária para extremos restritos (quando a restrição é regular), mas não garante que o ponto seja máximo ou mínimo — é apenas um ponto crítico da função restrita. Para decidir se é máximo, mínimo ou nenhum dos dois é preciso analisar derivadas de ordem superior da função restrita (ou fazer um teste de segunda ordem para restrições).
  3. Casos do tipo \nabla f(x_0,y_0)=\mathbf 0: se \nabla f=\mathbf 0 no ponto e a restrição é regular, então a equação \nabla f=\lambda\nabla g pode ser satisfeita com \lambda=0; ainda assim a interpretação geométrica é que a curva de nível de f é singela ali (ponto crítico de f) e deve ser tratada com cuidado.

Passo 8

Resumo prático que você pode usar na prova (curto e memorizável):
  • Se f e g são diferenciáveis e \nabla g(x_0,y_0)\neq\mathbf 0, então um extremo de f sob g=0 implica que a curva de nível de f é tangente à curva g=0 em (x_0,y_0).
  • Para resolver exercícios, escreva \nabla f=\lambda\nabla g e resolva junto com g=0; depois verifique naturezas com derivadas de ordem superior se precisar confirmar máximo ou mínimo.

Resposta

Verdadeira, desde que f e g sejam diferenciáveis e \nabla g(x_0,y_0)\neq\mathbf 0; trata‑se de uma condição necessária (equivalente à condição de Lagrange \nabla f=\lambda\nabla g), mas não garante por si só que o ponto seja máximo ou mínimo.

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