Calcule as integrais abaixo e verifique sua resposta calculando a derivada do resultado:
\int\left(x^{3}+6 x+1\right) d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular a integral indefinida \int\left(x^{3}+6 x+1\right) d x.
  • Verificar a resposta calculando a derivada do resultado obtido.
Informações dadas:
  • A função a integrar (o integrando) é \;x^{3}+6 x+1\;.
  • Não há outras restrições ou condições adicionais.

Passo 2

Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarzinho):
  • Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
\int\bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx,
onde a e b são constantes e f,g são funções de x.
  • Regra da potência para integrais (antiderivada): para qualquer real n\neq -1,
\int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C,
onde C é a constante de integração. Aqui n é o expoente da potência e C aparece porque a primitiva não é única (pode variar por uma constante).
Vou aplicar essas regras termo a termo ao polinômio \;x^{3}+6 x+1\;.

Passo 3

Aplicando a linearidade, escrevo a integral como soma de três integrais:
\int\left(x^{3}+6 x+1\right)dx = \int x^{3}\,dx \;+\; 6\int x\,dx \;+\; \int 1\,dx.
Agora calculo cada uma usando a regra da potência:
  • Para \int x^{3}\,dx: aqui n=3, então
\int x^{3}\,dx = \frac{x^{3+1}}{3+1} = \frac{x^{4}}{4}.
  • Para 6\int x\,dx: primeiro \int x\,dx com n=1
\int x\,dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^{2}}{2}.
Multiplicando pela constante 6
6\int x\,dx = 6\cdot\frac{x^{2}}{2} = 3x^{2}.
  • Para \int 1\,dx: note que 1=x^{0} e aplicando a regra da potência com n=0 obtemos
\int 1\,dx = \frac{x^{0+1}}{0+1} = x.

Passo 4

Somando os resultados dos termos e incluindo a constante de integração \;C\;, obtemos a primitiva geral:
\int\left(x^{3}+6 x+1\right)dx = \frac{x^{4}}{4} + 3x^{2} + x + C.

Passo 5

Verificação: calcular a derivada de \;F(x)=\dfrac{x^{4}}{4}+3x^{2}+x+C\; e conferir que volta o integrando.
Regras usadas na verificação:
  • Regra da derivada da potência: \dfrac{d}{dx}x^{n}=n x^{n-1}.
  • Derivada de constante é zero.
    Agora derivando termo a termo:
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(\dfrac{x^{4}}{4}\right) = \dfrac{1}{4}\cdot 4x^{3} = x^{3}.
  • \dfrac{d}{dx}\!\left(3x^{2}\right) = 3\cdot 2x = 6x.
  • \dfrac{d}{dx}\!(x) = 1.
  • \dfrac{d}{dx}\!\text{(C)} = 0.
Somando:
F'(x) = x^{3} + 6x + 1,
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.

Resposta

\displaystyle \frac{x^{4}}{4} + 3x^{2} + x + C

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