Calcule as integrais abaixo e verifique sua resposta calculando a derivada do resultado:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas:
- Calcular a integral indefinida
. - Verificar a resposta calculando a derivada do resultado obtido.
Informações dadas:
- A função a integrar (o integrando) é
. - Não há outras restrições ou condições adicionais.
Passo 2
Regras e fórmulas que vamos usar (explicadas devagarzinho):
- Linearidade da integral: a integral de uma soma é a soma das integrais, e constantes podem sair da integral. Em fórmulas:
onde
e
são constantes e
são funções de
.
- Regra da potência para integrais (antiderivada): para qualquer real
,
onde
é a constante de integração. Aqui
é o expoente da potência e
aparece porque a primitiva não é única (pode variar por uma constante).
Vou aplicar essas regras termo a termo ao polinômio .
Vou aplicar essas regras termo a termo ao polinômio
Passo 3
Aplicando a linearidade, escrevo a integral como soma de três integrais:
Agora calculo cada uma usando a regra da potência:
- Para
: aqui , então
- Para
: primeiro com dá
Multiplicando pela constante
dá
- Para
: note que e aplicando a regra da potência com obtemos
Passo 4
Somando os resultados dos termos e incluindo a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 5
Verificação: calcular a derivada de
e conferir que volta o integrando.
Regras usadas na verificação:
Regras usadas na verificação:
- Regra da derivada da potência:
. - Derivada de constante é zero.
Agora derivando termo a termo: -
-
-
-
Somando:
que é exatamente o integrando original. Portanto a primitiva está correta.