Calcule as integrais abaixo e verifique sua resposta calculando a derivada do resultado:
\int\left(2 e^{x}+4 \cos x\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int\left(2 e^{x}+4 \cos x\right)\,dx
e, em seguida, verificar a resposta calculando a derivada do resultado. As informações dadas são apenas os termos do integrando: 2 e^{x} e 4\cos x. Não há outras condições ou limites (é uma primitiva indefinida), então o resultado terá a constante de integração C.

Passo 2

Vamos recordar duas coisas fundamentais que usaremos:
  • Linearidade da integral: para constantes a,b e funções f,g,
\int\bigl(a f(x)+b g(x)\bigr)\,dx = a\int f(x)\,dx + b\int g(x)\,dx.
Isto permite separar a integral em duas integrais mais simples.
  • Primitivas básicas que precisamos:
\int e^{x}\,dx = e^{x}+C, \qquad \int \cos x\,dx = \sin x + C.
Aqui C representa uma constante arbitrária. Essas fórmulas vêm do fato de que \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x} e \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x.

Passo 3

Aplicando a linearidade e as primitivas básicas, calculamos cada parte:
\int 2 e^{x}\,dx = 2\int e^{x}\,dx = 2 e^{x}.
\int 4\cos x\,dx = 4\int \cos x\,dx = 4\sin x.
Somando as duas primitivas e acrescentando a constante de integração C, obtemos a primitiva geral:
F(x)=2 e^{x}+4\sin x + C.

Passo 4

Agora vamos verificar derivando F(x). Usamos que \dfrac{d}{dx}e^{x}=e^{x}, \dfrac{d}{dx}\sin x=\cos x e que a derivada de uma constante é zero. Então
F'(x)=\frac{d}{dx}\bigl(2 e^{x}+4\sin x + C\bigr) =2\frac{d}{dx}e^{x}+4\frac{d}{dx}\sin x + 0 =2 e^{x}+4\cos x.
Esse resultado coincide exatamente com o integrando original, o que confirma que F(x) é uma primitiva correta.

Passo 5

Resumo didático rápido: para integrar uma soma de funções multiplicadas por constantes, separa-se em integrais menores (linearidade). Depois usa-se primitivas conhecidas ( e^{x} e \sin x aqui). Não esquecer da constante de integração. Para checar no exame, basta derivar a primitiva e verificar que volta ao integrando.

Resposta

2 e^{x}+4\sin x + C

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