Calcule as integrais abaixo e verifique sua resposta calculando a derivada do resultado:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e, em seguida, verificar a resposta calculando a derivada do resultado. As informações dadas são apenas os termos do integrando:
e
. Não há outras condições ou limites (é uma primitiva indefinida), então o resultado terá a constante de integração
.
Passo 2
Vamos recordar duas coisas fundamentais que usaremos:
- Linearidade da integral: para constantes
e funções ,
Isto permite separar a integral em duas integrais mais simples.
- Primitivas básicas que precisamos:
Aqui
representa uma constante arbitrária. Essas fórmulas vêm do fato de que
e
.
Passo 3
Aplicando a linearidade e as primitivas básicas, calculamos cada parte:
Somando as duas primitivas e acrescentando a constante de integração
, obtemos a primitiva geral:
Passo 4
Agora vamos verificar derivando
. Usamos que
,
e que a derivada de uma constante é zero. Então
Esse resultado coincide exatamente com o integrando original, o que confirma que
é uma primitiva correta.
Passo 5
Resumo didático rápido: para integrar uma soma de funções multiplicadas por constantes, separa-se em integrais menores (linearidade). Depois usa-se primitivas conhecidas (
e
aqui). Não esquecer da constante de integração. Para checar no exame, basta derivar a primitiva e verificar que volta ao integrando.