Calcule as integrais, caso elas existam, e se as funções não forem integráveis, justifique.
(c) \int_{-1}^{3} f(x) d x, onde f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & -1 \leq x<1 \\\\ 2 & 1 \leq x \leq 3\end{array}\right.
Passo 1
O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{3} f(x)\,dx,
onde
f(x)= \begin{cases} x^{2}, & -1 \le x < 1,\\\\ 2, & 1 \le x \le 3. \end{cases}
O conteúdo aqui é integração de função composta por dois trechos, e vamos usar que uma função limitada com número finito de descontinuidades é Riemann-integrável, além da regra de soma de integrais em intervalos adjacentes.
Passo 2
Como f é contínua em [-1,1) e em (1,3] e só tem uma descontinuidade no ponto x=1, trata-se de uma descontinuidade do tipo salto, em número finito. Logo, f é integrável em [-1,3]. Podemos então escrever