Calcule as integrais, caso elas existam, e se as funções não forem integráveis, justifique.
(c) \int_{-1}^{3} f(x) d x, onde f(x)=\left\{\begin{array}{cc}x^{2}, & -1 \leq x<1 \\\\ 2 & 1 \leq x \leq 3\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{-1}^{3} f(x)\,dx,
onde
f(x)= \begin{cases} x^{2}, & -1 \le x < 1,\\\\ 2, & 1 \le x \le 3. \end{cases}
O conteúdo aqui é integração de função composta por dois trechos, e vamos usar que uma função limitada com número finito de descontinuidades é Riemann-integrável, além da regra de soma de integrais em intervalos adjacentes.

Passo 2

Como f é contínua em [-1,1) e em (1,3] e só tem uma descontinuidade no ponto x=1, trata-se de uma descontinuidade do tipo salto, em número finito. Logo, f é integrável em [-1,3]. Podemos então escrever
\int_{-1}^{3} f(x)\,dx = \int_{-1}^{1} x^{2}\,dx + \int_{1}^{3} 2\,dx.

Passo 3

Calcular
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx.
Usamos a primitiva de x^{2}, que é \tfrac{x^{3}}{3}. Assim,
\int_{-1}^{1} x^{2}\,dx = \left[\frac{x^{3}}{3}\right]_{-1}^{1} = \frac{1^{3}}{3}-\frac{(-1)^{3}}{3} = \frac{1}{3}-\bigl(-\frac{1}{3}\bigr) = \frac{2}{3}.

Passo 4

Calcular
\int_{1}^{3} 2\,dx.
Como a integral de constante 2 é 2x, temos
\int_{1}^{3} 2\,dx = \bigl[2x\bigr]_{1}^{3} = 2\cdot 3 - 2\cdot 1 = 6-2 = 4.

Passo 5

Somando ambos os resultados,
\int_{-1}^{3} f(x)\,dx = \frac{2}{3} + 4 = \frac{2}{3} + \frac{12}{3} = \frac{14}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{14}{3}

Exercícios relacionados