Calcule as integrais que convergem.
\int_{0}^{1} \frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral imprópria
\int_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt[3]{x^{2}}}\,dx,
que podemos reescrever como
\int_{0}^{1}x^{-2/3}\,dx.
O conteúdo envolve p-integral do tipo \int_{0}^{1}x^{-p}\,dx e exige verificar convergência em x=0 e, se convergente, encontrar seu valor.

Passo 2

Trataremos a singularidade em 0 definindo
\int_{0}^{1}x^{-2/3}\,dx = \lim_{\varepsilon\to0^+}\int_{\varepsilon}^{1}x^{-2/3}\,dx.

Passo 3

Para integrar x^{-2/3}, usamos a fórmula
\int x^{\alpha}\,dx = \frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1},\quad \alpha\neq -1.
Aqui \alpha=-\tfrac{2}{3}, portanto \alpha+1=\tfrac{1}{3} e a primitiva é
\int x^{-2/3}\,dx = \frac{x^{1/3}}{1/3} = 3\,x^{1/3}.

Passo 4

Aplicando os limites e fazendo \varepsilon\to0^+:
\lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl[3\,x^{1/3}\bigr]_{\varepsilon}^{1} = \lim_{\varepsilon\to0^+}\bigl(3\cdot1^{1/3} - 3\,\varepsilon^{1/3}\bigr) = 3 - 0 = 3.
Como o resultado é finito, a integral converge.

Resposta

A integral converge e vale 3.

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