Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}\,dx.
Informações dadas:
  • O integrando é a função \left(x^{2}+1\right)^{2}.
  • Os limites de integração são 0 (inferior) e 2 (superior).
  • Queremos o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Primeiro vamos simplificar o integrando usando álgebra (expandir o quadrado). Lembre que (a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2. Aqui a = x^2 e b = 1. Então
\left(x^{2}+1\right)^{2} = (x^2)^2 + 2\cdot x^2\cdot 1 + 1^2 = x^{4} + 2x^{2} + 1.
Portanto a integral vira
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}\,dx = \int_{0}^{2}\left(x^{4} + 2x^{2} + 1\right)\,dx.

Passo 3

Agora vamos usar propriedades básicas de integrais:
  • Linearidade: \displaystyle \int (f+g+h)\,dx = \int f\,dx + \int g\,dx + \int h\,dx.
  • Regra da constante: \displaystyle \int c\cdot f(x)\,dx = c\int f(x)\,dx.
  • Regra da potência (para n\neq -1): \displaystyle \int x^{n}\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C.
Aplicando termo a termo:
\int\left(x^{4} + 2x^{2} + 1\right)\,dx = \int x^{4}\,dx + 2\int x^{2}\,dx + \int 1\,dx.

Passo 4

Calculemos as primitivas (antiderivadas) de cada termo usando a regra da potência:
  • \displaystyle \int x^{4}\,dx = \frac{x^{5}}{5}.
  • \displaystyle \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}, então 2\int x^{2}\,dx = 2\cdot\frac{x^{3}}{3} = \frac{2x^{3}}{3}.
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
Logo uma antiderivada da função integranda é
F(x) = \frac{x^{5}}{5} + \frac{2x^{3}}{3} + x.

Passo 5

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, a integral definida de 0 a 2 é F(2)-F(0). Calculamos cada termo:
F(2) = \frac{2^{5}}{5} + \frac{2\cdot 2^{3}}{3} + 2 = \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2,
F(0) = \frac{0^{5}}{5} + \frac{2\cdot 0^{3}}{3} + 0 = 0.
Portanto
\int_{0}^{2}\left(x^{2}+1\right)^{2}\,dx = \frac{32}{5} + \frac{16}{3} + 2.

Passo 6

Vamos somar as frações para obter um único quociente. Colocamos tudo sobre o mesmo denominador, que é 15:
\frac{32}{5} = \frac{96}{15},\qquad \frac{16}{3} = \frac{80}{15},\qquad 2 = \frac{30}{15}.
Somando os numeradores:
\frac{96}{15} + \frac{80}{15} + \frac{30}{15} = \frac{96+80+30}{15} = \frac{206}{15}.

Resposta

\frac{206}{15}

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