Calcule as integrais definidas abaixo:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações dadas:
- Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A função a integrar é a soma de três termos:
, e .
A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?
Passo 2
Primeiro uso uma propriedade muito útil: a linearidade da integral. Ela diz que a integral da soma é a soma das integrais. Em notação:
Aplicando aqui:
Passo 3
Vou transformar as potências para usar a regra de potência para primitiva. Lembre que
A regra de potência para primitiva (antiderivada) é: para
,
E há um caso especial: para
,
porque a derivada de
é
. Um exemplo rápido para fixar:
.
Passo 4
Agora aplico as primitivas termo a termo:
- Para
(caso ): - Para
(caso ): - Para
(caso ):
Somando as primitivas (ou seja, uma função
cuja derivada é o integrando), obtemos
Para integrais definidas usamos
.
Passo 5
Avalio
nos extremos
e
.
Calculo
:
Somando as frações:
logo
Calculo
:
Agora a integral definida é
Passo 6
Faço a conta final de frações:
Converto
para oitavos:
. Então
Portanto o resultado final é