Calcule as integrais definidas abaixo:
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)dx.
Informações dadas:
  • Os limites de integração são 1 (inferior) e 2 (superior).
  • A função a integrar é a soma de três termos: \dfrac{1}{x}, \dfrac{1}{x^{2}} e \dfrac{1}{x^{3}}.
    A pergunta é: qual é o valor numérico dessa integral definida?

Passo 2

Primeiro uso uma propriedade muito útil: a linearidade da integral. Ela diz que a integral da soma é a soma das integrais. Em notação:
\int_{a}^{b}\big(f(x)+g(x)+h(x)\big)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx+\int_{a}^{b}h(x)\,dx.
Aplicando aqui:
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)dx = \int_{1}^{2}\frac{1}{x}\,dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{2}}\,dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{x^{3}}\,dx.

Passo 3

Vou transformar as potências para usar a regra de potência para primitiva. Lembre que
\frac{1}{x^{2}}=x^{-2},\qquad \frac{1}{x^{3}}=x^{-3}.
A regra de potência para primitiva (antiderivada) é: para n\neq -1,
\int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C.
E há um caso especial: para n=-1,
\int x^{-1}\,dx=\int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C,
porque a derivada de \ln|x| é \dfrac{1}{x}. Um exemplo rápido para fixar: \int x^{2}\,dx=\dfrac{x^{3}}{3}+C.

Passo 4

Agora aplico as primitivas termo a termo:
  • Para \dfrac{1}{x} (caso n=-1): \displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|.
  • Para x^{-2} (caso n=-2): \displaystyle \int x^{-2}\,dx=\frac{x^{-1}}{-1}=-x^{-1}=-\frac{1}{x}.
  • Para x^{-3} (caso n=-3): \displaystyle \int x^{-3}\,dx=\frac{x^{-2}}{-2}=-\frac{1}{2}x^{-2}=-\frac{1}{2x^{2}}.
Somando as primitivas (ou seja, uma função F(x) cuja derivada é o integrando), obtemos
F(x)=\ln|x|-\frac{1}{x}-\frac{1}{2x^{2}}.
Para integrais definidas usamos F(b)-F(a).

Passo 5

Avalio F nos extremos x=2 e x=1.
Calculo F(2):
F(2)=\ln 2-\frac{1}{2}-\frac{1}{2\cdot 2^{2}}=\ln 2-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}.
Somando as frações:
-\frac{1}{2}-\frac{1}{8}=-\frac{4}{8}-\frac{1}{8}=-\frac{5}{8},
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F(2)=\ln 2-\frac{5}{8}.
Calculo F(1):
F(1)=\ln 1-\frac{1}{1}-\frac{1}{2\cdot 1^{2}}=0-1-\frac{1}{2}=-\frac{3}{2}.
Agora a integral definida é
\int_{1}^{2}\left(\frac{1}{x}+\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{x^{3}}\right)dx=F(2)-F(1)=\left(\ln 2-\frac{5}{8}\right)-\left(-\frac{3}{2}\right).

Passo 6

Faço a conta final de frações:
\left(\ln 2-\frac{5}{8}\right)+\frac{3}{2}=\ln 2-\frac{5}{8}+\frac{3}{2}.
Converto \dfrac{3}{2} para oitavos: \dfrac{3}{2}=\dfrac{12}{8}. Então
-\frac{5}{8}+\frac{12}{8}=\frac{7}{8}.
Portanto o resultado final é
\ln 2+\frac{7}{8}.

Resposta

\ln 2+\dfrac{7}{8}

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