Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
Passo 1
O enunciado pede o cálculo da integral definida abaixo:
Informações fornecidas:
- O integrando é o polinômio
. - Os limites de integração são
(inferior) e (superior). - A tarefa é calcular o valor numérico da integral definida.
Passo 2
Regra útil — linearidade da integral:
onde
e
são constantes e
são funções.
Isto significa que cada termo do polinômio pode ser integrado separadamente, levando a contas mais simples. Aqui vamos aplicar essa propriedade ao integrando .
Isto significa que cada termo do polinômio pode ser integrado separadamente, levando a contas mais simples. Aqui vamos aplicar essa propriedade ao integrando
Passo 3
Regra útil — regra da potência para antiderivadas:
para qualquer
, onde
é a constante de integração.
Também, para uma constante ,
Também, para uma constante
Vou usar essas fórmulas termo a termo.
Passo 4
Integro cada termo usando linearidade e a regra da potência:
- Para
:
porque
é constante.
- Para
:
Observe que o
do coeficiente cancela com o denominador
da fórmula da potência.
- Para
:
Aqui o
do coeficiente cancela com o denominador
.
Combinando os termos (e reunindo as constantes em uma só constante
), uma primitiva
do integrando é
Passo 5
Teorema Fundamental do Cálculo (versão aplicada): se
é uma primitiva de
em
, então
Aqui
,
(podemos deixar
ao avaliar a diferença),
e
. Portanto vamos calcular
.
Passo 6
Avaliação das primitivas nos extremos:
- Calcular
:
- Calcular
:
Assim a integral definida fica