Calcule as integrais definidas das funções abaixo. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int_{1}^{4}\left(5-2 t+3 t^{2}\right) d t

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral definida abaixo:
\int_{1}^{4}\left(5-2t+3t^{2}\right)\,dt.
Informações fornecidas:
  • O integrando é o polinômio \,5-2t+3t^{2}.
  • Os limites de integração são t=1 (inferior) e t=4 (superior).
  • A tarefa é calcular o valor numérico da integral definida.

Passo 2

Regra útil — linearidade da integral:
\int (a f(t) + b g(t))\,dt = a\int f(t)\,dt + b\int g(t)\,dt,
onde a e b são constantes e f,g são funções.
Isto significa que cada termo do polinômio pode ser integrado separadamente, levando a contas mais simples. Aqui vamos aplicar essa propriedade ao integrando \,5-2t+3t^{2}.

Passo 3

Regra útil — regra da potência para antiderivadas:
\int t^{n}\,dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}+C,
para qualquer n\neq -1, onde C é a constante de integração.
Também, para uma constante k,
\int k\,dt = kt + C.
Vou usar essas fórmulas termo a termo.

Passo 4

Integro cada termo usando linearidade e a regra da potência:
  • Para \int 5\,dt:
\int 5\,dt = 5t + C_1,
porque 5 é constante.
  • Para \int (-2t)\,dt:
\int (-2t)\,dt = -2\int t\,dt = -2\cdot\frac{t^{2}}{2} + C_2 = -t^{2} + C_2.
Observe que o \,2 do coeficiente cancela com o denominador \,2 da fórmula da potência.
  • Para \int 3t^{2}\,dt:
\int 3t^{2}\,dt = 3\int t^{2}\,dt = 3\cdot\frac{t^{3}}{3} + C_3 = t^{3} + C_3.
Aqui o 3 do coeficiente cancela com o denominador 3.
Combinando os termos (e reunindo as constantes em uma só constante C), uma primitiva F(t) do integrando é
F(t)=5t - t^{2} + t^{3} + C.

Passo 5

Teorema Fundamental do Cálculo (versão aplicada): se F é uma primitiva de f em [a,b], então
\int_{a}^{b} f(t)\,dt = F(b)-F(a).
Aqui f(t)=5-2t+3t^{2}, F(t)=5t-t^{2}+t^{3} (podemos deixar C=0 ao avaliar a diferença), a=1 e b=4. Portanto vamos calcular F(4)-F(1).

Passo 6

Avaliação das primitivas nos extremos:
  • Calcular F(4):
F(4)=5\cdot 4 - 4^{2} + 4^{3} = 20 - 16 + 64 = 68.
  • Calcular F(1):
F(1)=5\cdot 1 - 1^{2} + 1^{3} = 5 - 1 + 1 = 5.
Assim a integral definida fica
\int_{1}^{4}\left(5-2t+3t^{2}\right)\,dt = F(4)-F(1) = 68 - 5.

Resposta

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