Calcule as integrais indefinidas. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
\int\left(y^{3}+18 y^{2}-24 y\right) d y

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida \int\left(y^{3}+18 y^{2}-24 y\right) d y.
Informações dadas:
  • A função a integrar é um polinômio em y: y^{3}+18 y^{2}-24 y.
  • Quer-se a antiderivada (integral indefinida), isto é, uma função F(y) tal que F'(y)=y^{3}+18 y^{2}-24 y.
  • Ao final devemos acrescentar a constante de integração C.

Passo 2

Regras básicas que vou usar (explicadas de forma simples):
  • Linearidade da integral: para funções f e g e constante k,
\int (f+g)\,dy = \int f\,dy + \int g\,dy, \qquad \int k f\,dy = k \int f\,dy.
Isto significa que posso integrar termo a termo e tirar constantes multiplicativas para fora da integral.
  • Regra da potência (para n\neq -1): para n real,
\int y^{n}\,dy = \frac{y^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui y é a variável de integração, n é o expoente. Exemplo simples: \int y^{2}\,dy = \dfrac{y^{3}}{3}+C.

Passo 3

Aplicando a linearidade, escrevo a integral como soma de integrais dos termos:
\int\left(y^{3}+18 y^{2}-24 y\right) d y = \int y^{3}\,dy + \int 18 y^{2}\,dy - \int 24 y\,dy.

Passo 4

Trato cada termo com a regra da potência e com o fator constante:
  • Para \int y^{3}\,dy, aqui n=3. Pela regra da potência,
\int y^{3}\,dy = \frac{y^{4}}{4}.

Passo 5

  • Para \int 18 y^{2}\,dy, tiro a constante 18 para fora e aplico a regra com n=2:
\int 18 y^{2}\,dy = 18 \int y^{2}\,dy = 18 \cdot \frac{y^{3}}{3}.
Faço a conta 18 \cdot \dfrac{1}{3} = 6, logo
\int 18 y^{2}\,dy = 6 y^{3}.

Passo 6

  • Para \int 24 y\,dy (note o sinal menos na integral original), tiro 24 para fora e uso n=1:
\int 24 y\,dy = 24 \int y\,dy = 24 \cdot \frac{y^{2}}{2}.
Faço a conta 24 \cdot \dfrac{1}{2}=12, portanto
\int 24 y\,dy = 12 y^{2}.
Como havia sinal negativo no integrando, o termo contribui como -12 y^{2}.

Passo 7

Juntando os resultados dos termos e lembrando da constante de integração C:
\int\left(y^{3}+18 y^{2}-24 y\right) d y = \frac{y^{4}}{4} + 6 y^{3} - 12 y^{2} + C.

Passo 8

Verificação rápida (para treinar a cabeça para a prova): derivando o resultado usando a regra da potência para derivadas obtém-se
\frac{d}{dy}\!\left(\frac{y^{4}}{4} + 6 y^{3} - 12 y^{2}\right) = y^{3} + 18 y^{2} - 24 y,
que é justamente o integrando. Então está correto. Força ai — isso é o tipo de conta que cai direto na prova.

Resposta

\dfrac{y^{4}}{4}+6y^{3}-12y^{2}+C

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