Calcule as integrais indefinidas. Alguns casos requerem manipulação algébrica prévia.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a integral indefinida
.
Informações dadas:
- A função a integrar é um polinômio em
: . - Quer-se a antiderivada (integral indefinida), isto é, uma função
tal que . - Ao final devemos acrescentar a constante de integração
.
Passo 2
Regras básicas que vou usar (explicadas de forma simples):
- Linearidade da integral: para funções
e e constante ,
Isto significa que posso integrar termo a termo e tirar constantes multiplicativas para fora da integral.
- Regra da potência (para
): para real,
Aqui
é a variável de integração,
é o expoente. Exemplo simples:
.
Passo 3
Aplicando a linearidade, escrevo a integral como soma de integrais dos termos:
Passo 4
Trato cada termo com a regra da potência e com o fator constante:
- Para
, aqui . Pela regra da potência,
Passo 5
- Para
, tiro a constante para fora e aplico a regra com :
Faço a conta
, logo
Passo 6
- Para
(note o sinal menos na integral original), tiro para fora e uso :
Faço a conta
, portanto
Como havia sinal negativo no integrando, o termo contribui como
.
Passo 7
Juntando os resultados dos termos e lembrando da constante de integração
:
Passo 8
Verificação rápida (para treinar a cabeça para a prova): derivando o resultado usando a regra da potência para derivadas obtém-se
que é justamente o integrando. Então está correto. Força ai — isso é o tipo de conta que cai direto na prova.