Calcule as integrais definidas: integral1^t x ln x d x

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral definida: . Estamos no campo do cálculo integral, especificamente usando a técnica de integração por partes. Para isso, vamos precisar identificar quais partes da função vamos escolher para e .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a fórmula da integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Aqui, precisamos escolher quais partes da nossa função u = ln x e dv = x , dx serão e . Uma boa estratégia é deixar como uma função que se simplifica quando derivada, e como algo fácil de integrar.
Vamos escolher:

Passo 3

Agora, vamos calcular du = 1x , dx e v = integral x , dx = x^22 :
Com esses valores, podemos aplicar a fórmula da integração por partes.

Passo 4

Substituindo na fórmula:
integral x ln x , dx = uv - integral v , du = ln x cdot x^22 - integral x^22 cdot 1x , dx
Simplificando a integral restante:
x^22 cdot 1x = x2
Então, temos:
x^22 ln x - integral x2 , dx

Passo 5

Agora, vamos integrar integral x2 , dx = 12 cdot x^22 = x^24 :
x^22 ln x - x^24 + C
Substituindo de volta:
[ x^22 ln x - x^24 ]1^t = ( t^22 ln t - t^24 ) - ( 12 ln 1 - 14 )
Como estamos calculando uma integral definida de 1 até t^22 ln t - t^24 - ( 0 - 14 ) = t^22 ln t - t^24 + 14 , vamos aplicar os limites:
Sabemos que , então:

Resposta

A integral definida t^22 ln t - t^24 + 14 é igual a:

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