Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis: x tg(y) - y' sec(x) = 0

Passo 1

Então, a gente tem a equação diferencial . Isso é uma equação diferencial de variáveis separáveis, que é um tipo onde a gente pode separar as variáveis x e y em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar . Temos:
Dividindo ambos os lados por sec(x), ficamos com:
Lembrando que .

Passo 3

Agora, vamos escrever como :
Queremos separar as variáveis, ou seja, termos com y de um lado e termos com x do outro.

Passo 4

Dividimos ambos os lados por e multiplicamos por :
Lembrando que .

Passo 5

Agora temos:
Pronto para integrar ambos os lados separadamente.

Passo 6

Vamos integrar o lado esquerdo e o lado direito:
Sabemos que .

Passo 7

Para integrar , usamos integração por partes. Seja:
Então:

Passo 8

Juntando as integrações:
Onde é uma constante geral.

Passo 9

Para isolar , aplicamos a exponencial dos dois lados:
Onde é uma nova constante.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde C é uma constante arbitrária.

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