Resolva as seguintes equações diferenciais de variáveis separáveis:
Passo 1
Então, a gente tem a equação diferencial
. Isso é uma equação diferencial de variáveis separáveis, que é um tipo onde a gente pode separar as variáveis x e y em lados diferentes da equação. Para resolver, vamos precisar usar técnicas de separação de variáveis e integrais.
Passo 2
Primeiro, vamos reorganizar a equação para isolar
. Temos:
Dividindo ambos os lados por
, ficamos com:
Lembrando que
.
Passo 3
Agora, vamos escrever
como
:
Queremos separar as variáveis, ou seja, termos com y de um lado e termos com x do outro.
Passo 4
Dividimos ambos os lados por
e multiplicamos por
:
Lembrando que
.
Passo 5
Agora temos:
Pronto para integrar ambos os lados separadamente.
Passo 6
Vamos integrar o lado esquerdo e o lado direito:
Sabemos que
.
Passo 7
Para integrar
, usamos integração por partes. Seja:
Então:
Passo 8
Juntando as integrações:
Onde
é uma constante geral.
Passo 9
Para isolar
, aplicamos a exponencial dos dois lados:
Onde
é uma nova constante.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
é uma constante arbitrária.