Calcule as integrais definidas usando os resultados:
\int_{-1}^{2} x^{2} d x=3 \quad \int_{-1}^{2} x d x=\frac{3}{2} \quad \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen} x d x=2
\int_{0}^{\pi} \cos x d x=0 \quad \int_{0}^{\pi} \operatorname{sen}^{2} x d x=\frac{1}{2} \pi
\int_{-1}^{2}\left(2-5 x+\frac{1}{2} x^{2}\right) d x

Passo 1

O enunciado dá alguns integrais já calculados (peguei estes valores do enunciado) e pede para calcular o integral
\int_{-1}^{2}\left(2-5x+\tfrac{1}{2}x^{2}\right)\,dx.
Os resultados fornecidos são:
\int_{-1}^{2} x^{2}\,dx = 3, \qquad \int_{-1}^{2} x\,dx = \tfrac{3}{2}, \qquad \int_{0}^{\pi} \sin x\,dx = 2,
\int_{0}^{\pi} \cos x\,dx = 0, \qquad \int_{0}^{\pi} \sin^{2}x\,dx = \tfrac{1}{2}\pi.

Passo 2

Vou usar duas propriedades básicas de integrais que são ótimas para a prova. Vou explicá‑las devagarinho:
  • Linearidade (soma): para funções f e g,
\int_{a}^{b}\bigl(f(x)+g(x)\bigr)\,dx=\int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{a}^{b}g(x)\,dx.
Isto significa que dá para separar a integral de uma soma em somas de integrais.
  • Constante fora da integral: para constante c e função f,
\int_{a}^{b} c\,f(x)\,dx = c\int_{a}^{b} f(x)\,dx.
Ou seja, números multiplicando a função podem sair da integral.
  • Integral de constante: para constante C,
\int_{a}^{b} C\,dx = C\,(b-a).
Isto é intuitivo: a integral de uma reta horizontal é a área de um retângulo de altura C e base b-a.
Exemplo rápido para fixar: \int_{0}^{2}3\,dx = 3\cdot(2-0)=6.

Passo 3

Aplicando linearidade e a propriedade da constante ao integrando, escrevo:
\int_{-1}^{2}\left(2-5x+\tfrac{1}{2}x^{2}\right)\,dx = \int_{-1}^{2}2\,dx \;-\;5\int_{-1}^{2}x\,dx \;+\; \tfrac{1}{2}\int_{-1}^{2}x^{2}\,dx.

Passo 4

Calculo cada parcela usando os valores fornecidos:
  • Para a constante 2:
\int_{-1}^{2}2\,dx = 2\cdot(2-(-1)) = 2\cdot 3 = 6.
  • Para o termo em x:
-5\int_{-1}^{2}x\,dx = -5\cdot \tfrac{3}{2} = -\tfrac{15}{2}.
  • Para o termo em x^{2}:
\tfrac{1}{2}\int_{-1}^{2}x^{2}\,dx = \tfrac{1}{2}\cdot 3 = \tfrac{3}{2}.

Passo 5

Agora somo as parcelas com cuidado de frações:
6 + \bigl(-\tfrac{15}{2}\bigr) + \tfrac{3}{2} = 6 + \bigl(-\tfrac{12}{2}\bigr) = 6 - 6 = 0.
Ou, em passo de frações: 6=\tfrac{12}{2}, então \tfrac{12}{2}-\tfrac{15}{2}+\tfrac{3}{2}=\tfrac{0}{2}=0.

Resposta

0

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