Integrais
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral definida
Informações relevantes dadas:
- Os limites de integração são
e . - A função a integrar é
.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.
Passo 2
Observação útil sobre paridade (isso ajuda a simplificar integrais simétricas):
- A função
é par, ou seja, . - Então
também é par, porque elevar uma função par a potência ímpar mantém a paridade.
Portantoé uma função par (diferença de funções pares é par). Para uma função par vale a propriedade
Isso permite trabalhar só com o intervalo
e dobrar o resultado, se desejarmos.
Passo 3
Vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica prática para
. A identidade do cosseno de triplo ângulo é
Isolando
obtemos
Essa é uma ferramenta padrão para integrar potências ímpares de cosseno sem passar por substituições complicadas.
Passo 4
Substituindo
em
:
Simplificando os termos em
:
Assim a integral fica
Passo 5
Agora integramos termo a termo. Lembrete da primitiva de cosseno composto:
- Para
, .
Aplicando isso aos termos:
Logo uma primitiva da função integrada é
Passo 6
Avaliar a primitiva nos limites
e
:
Calculando cada valor:
Portanto
Subtraindo:
Passo 7
Checagem alternativa rápida (usando paridade do Passo 2): como a função é par,
Sabendo que
e
, obtemos
confirmando o resultado anterior.