Integrais
\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2}\left(4 \cos ^{3} x-9 \cos x\right) dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral definida
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(4\cos^{3}x-9\cos x\right)\,dx.
Informações relevantes dadas:
  • Os limites de integração são -\pi/2 e \pi/2.
  • A função a integrar é f(x)=4\cos^{3}x-9\cos x.
O objetivo é encontrar o valor numérico dessa integral definida.

Passo 2

Observação útil sobre paridade (isso ajuda a simplificar integrais simétricas):
  • A função \cos x é par, ou seja, \cos(-x)=\cos x.
  • Então \cos^{3}x também é par, porque elevar uma função par a potência ímpar mantém a paridade.
    Portanto f(x)=4\cos^{3}x-9\cos x é uma função par (diferença de funções pares é par). Para uma função par vale a propriedade
\int_{-a}^{a} f(x)\,dx = 2\int_{0}^{a} f(x)\,dx.
Isso permite trabalhar só com o intervalo [0,\pi/2] e dobrar o resultado, se desejarmos.

Passo 3

Vamos simplificar a expressão usando uma identidade trigonométrica prática para \cos^{3}x. A identidade do cosseno de triplo ângulo é
\cos(3x)=4\cos^{3}x-3\cos x.
Isolando \cos^{3}x obtemos
\cos^{3}x=\frac{\cos(3x)+3\cos x}{4}.
Essa é uma ferramenta padrão para integrar potências ímpares de cosseno sem passar por substituições complicadas.

Passo 4

Substituindo \cos^{3}x em f(x):
4\cos^{3}x-9\cos x =4\cdot\frac{\cos(3x)+3\cos x}{4}-9\cos x =\cos(3x)+3\cos x-9\cos x.
Simplificando os termos em \cos x:
\cos(3x)+3\cos x-9\cos x=\cos(3x)-6\cos x.
Assim a integral fica
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(4\cos^{3}x-9\cos x\right)\,dx =\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\big(\cos(3x)-6\cos x\big)\,dx.

Passo 5

Agora integramos termo a termo. Lembrete da primitiva de cosseno composto:
  • Para k\neq 0, \displaystyle\int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\sin(kx)+C.
    Aplicando isso aos termos:
\int \cos(3x)\,dx=\frac{1}{3}\sin(3x),\qquad \int -6\cos x\,dx=-6\sin x.
Logo uma primitiva da função integrada é
F(x)=\frac{1}{3}\sin(3x)-6\sin x.

Passo 6

Avaliar a primitiva nos limites -\pi/2 e \pi/2:
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\big(\cos(3x)-6\cos x\big)\,dx =F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\!\left(-\frac{\pi}{2}\right).
Calculando cada valor:
  • \sin\!\left(3\cdot\frac{\pi}{2}\right)=\sin\!\left(\frac{3\pi}{2}\right)=-1.
  • \sin\!\left(3\cdot\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right)=\sin\!\left(-\frac{3\pi}{2}\right)=1.
  • \sin\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=1.
  • \sin\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=-1.
Portanto
F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{3}\cdot(-1)-6\cdot(1)=-\frac{1}{3}-6,
F\!\left(-\frac{\pi}{2}\right)=\frac{1}{3}\cdot(1)-6\cdot(-1)=\frac{1}{3}+6.
Subtraindo:
F\!\left(\frac{\pi}{2}\right)-F\!\left(-\frac{\pi}{2}\right) =\left(-\frac{1}{3}-6\right)-\left(\frac{1}{3}+6\right) =-\frac{1}{3}-6-\frac{1}{3}-6 =-\frac{2}{3}-12 =-\frac{38}{3}.

Passo 7

Checagem alternativa rápida (usando paridade do Passo 2): como a função é par,
\int_{-\pi/2}^{\pi/2}\left(4\cos^{3}x-9\cos x\right)\,dx =2\int_{0}^{\pi/2}\left(4\cos^{3}x-9\cos x\right)\,dx.
Sabendo que \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos^{3}x\,dx=\frac{2}{3} e \displaystyle\int_{0}^{\pi/2}\cos x\,dx=1, obtemos
2\left(4\cdot\frac{2}{3}-9\cdot1\right)=2\left(\frac{8}{3}-9\right)=2\left(-\frac{19}{3}\right)=-\frac{38}{3},
confirmando o resultado anterior.

Resposta

-\frac{38}{3}

Exercícios relacionados