Calcule as integrais e descreva a região de integração:
\int_{0}^{1} \int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} \int_{0}^{z+y} x y d x d z d y

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: calcular a integral tripla
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}}\int_{0}^{\,z+y} x\,y \, dx \, dz \, dy
e descrever a região de integração no espaço (x,y,z).
Informações dadas (lista das condições que já estão no enunciado):
0\le y\le 1, \qquad y^{2}\le z\le \sqrt{y}, \qquad 0\le x\le z+y.

Passo 2

Vamos começar integrando em relação a x (a integral mais interna). A integral que precisamos calcular é
\int_{0}^{z+y} x\,y \, dx.
Aqui y é uma constante relativamente à integração em x. Usamos a regra básica de integração de potências: \int x\,dx = \tfrac{x^{2}}{2}. Assim,
\int_{0}^{z+y} x\,y \, dx = y \int_{0}^{z+y} x\,dx = y\left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{z+y} = \frac{y}{2}(z+y)^{2}.
Este é o resultado da integração em x. Agora a integral tripla fica
\int_{0}^{1}\int_{y^{2}}^{\sqrt{y}} \frac{y}{2}(z+y)^{2} \, dz \, dy.

Passo 3

Para integrar em z é conveniente expandir o quadrado:
(z+y)^{2}=z^{2}+2yz+y^{2}.
Então o integrando torna-se \dfrac{y}{2}(z^{2}+2yz+y^{2}). Integramos termo a termo em z. A primitiva em z de z^{2} é \tfrac{z^{3}}{3}, de z é \tfrac{z^{2}}{2} (mas há o fator 2y que multiplica) e de 1 é z. Assim uma antiderivada válida é
\frac{y}{2}\left(\frac{z^{3}}{3}+y z^{2}+y^{2} z\right).
Portanto devemos avaliar
\left.\frac{y}{2}\left(\frac{z^{3}}{3}+y z^{2}+y^{2} z\right)\right|_{z=y^{2}}^{z=\sqrt{y}}.

Passo 4

Agora substituímos os limites z=\sqrt{y} e z=y^{2} na expressão \dfrac{y}{2}\big(\dfrac{z^{3}}{3}+y z^{2}+y^{2} z\big).
Para z=\sqrt{y}=y^{1/2}:
\frac{z^{3}}{3}=\frac{y^{3/2}}{3},\qquad y z^{2}=y\cdot y = y^{2},\qquad y^{2} z = y^{2}\cdot y^{1/2}=y^{5/2}.
Logo a avaliação em z=\sqrt{y}
\frac{y}{2}\left(\frac{1}{3}y^{3/2}+y^{2}+y^{5/2}\right).
Para z=y^{2}:
\frac{z^{3}}{3}=\frac{y^{6}}{3},\qquad y z^{2}=y\cdot y^{4}=y^{5},\qquad y^{2} z = y^{2}\cdot y^{2}=y^{4}.
Logo a avaliação em z=y^{2}
\frac{y}{2}\left(\frac{1}{3}y^{6}+y^{5}+y^{4}\right).
Subtraindo (valor em \sqrt{y} menos valor em y^{2}) obtemos a função de y que agora devemos integrar de 0 a 1.

Passo 5

Vamos escrever explicitamente a diferença e simplificá-la antes de integrar em y:
\frac{y}{2}\Bigg(\frac{1}{3}y^{3/2}+y^{2}+y^{5/2}-\frac{1}{3}y^{6}-y^{5}-y^{4}\Bigg).
Multiplicando y/2 por cada termo:
\frac{1}{6}y^{5/2}+\frac{1}{2}y^{3}+\frac{1}{2}y^{7/2}-\frac{1}{6}y^{7}-\frac{1}{2}y^{6}-\frac{1}{2}y^{5}.
Portanto a integral final em y é
\int_{0}^{1}\left(\frac{1}{6}y^{5/2}+\frac{1}{2}y^{3}+\frac{1}{2}y^{7/2}-\frac{1}{6}y^{7}-\frac{1}{2}y^{6}-\frac{1}{2}y^{5}\right)dy.

Passo 6

Integramos termo a termo usando a regra da potência: \int y^{n}dy=\dfrac{y^{n+1}}{n+1}.
Cálculo de cada termo (avaliados de 0 a 1):
  1. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{6}y^{5/2}dy = \frac{1}{6}\cdot\frac{y^{7/2}}{7/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{6}\cdot\frac{2}{7} = \frac{1}{21}.
  2. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{2}y^{3}dy = \frac{1}{2}\cdot\frac{y^{4}}{4}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{8}.
  3. \displaystyle \int_{0}^{1}\frac{1}{2}y^{7/2}dy = \frac{1}{2}\cdot\frac{y^{9/2}}{9/2}\Big|_{0}^{1} = \frac{1}{9}.
  4. \displaystyle \int_{0}^{1}-\frac{1}{6}y^{7}dy = -\frac{1}{6}\cdot\frac{y^{8}}{8}\Big|_{0}^{1} = -\frac{1}{48}.
  5. \displaystyle \int_{0}^{1}-\frac{1}{2}y^{6}dy = -\frac{1}{2}\cdot\frac{y^{7}}{7}\Big|_{0}^{1} = -\frac{1}{14}.
  6. \displaystyle \int_{0}^{1}-\frac{1}{2}y^{5}dy = -\frac{1}{2}\cdot\frac{y^{6}}{6}\Big|_{0}^{1} = -\frac{1}{12}.

Passo 7

Somando todas as parcelas obtidas:
\frac{1}{21}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}-\frac{1}{48}-\frac{1}{14}-\frac{1}{12}.
Para somar de forma exata, usamos o mínimo múltiplo comum 1008 e obtemos
\frac{109}{1008}.
(Se quiser uma verificação numérica, \dfrac{109}{1008}\approx 0{,}10813.)

Passo 8

Descrição geométrica da região de integração:
A região R é o conjunto de pontos (x,y,z) que satisfazem as desigualdades dadas pelos limites da integral. Uma descrição conveniente é
R=\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0\le y\le 1,\; y^{2}\le z\le \sqrt{y},\; 0\le x\le z+y\}.
Interpretação geométrica intuitiva:
  • Na direção y a região vai de y=0 até y=1.
  • Para cada y fixo, a coordenada z varia entre as curvas no plano x=0: z=y^{2} (uma parábola em y) e z=\sqrt{y} (a inversa).
  • Para cada par (y,z) nessa faixa, x varia do plano x=0 até o plano oblíquo x=z+y.
    Assim R é o sólido “empilhado” sobre a região do plano yz entre z=y^{2} e z=\sqrt{y}, com altura em x igual a z+y.

Resposta

\dfrac{109}{1008}
\{(x,y,z)\in\mathbb{R}^{3}\mid 0\le y\le 1,\; y^{2}\le z\le \sqrt{y},\; 0\le x\le z+y\}

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