Calcule as integrais e descreva a região de integração:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{2 y}^{1+y^{2}} x d z d y d x

Passo 1

O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a integral
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} \int_{2 y}^{1+y^{2}} x \, dz \, dy \, dx,
e (2) descrever a região de integração no espaço (x,y,z).
Informações dadas:
0 \le x \le 1,\qquad 0 \le y \le 1-x,\qquad 2y \le z \le 1+y^{2}.

Passo 2

Observação útil (fórmula/ideia): se uma função não depende da variável de integração, podemos tirá‑la fora da integral ou usar que
\int_{a}^{b} f(x)\,dz = f(x)\,(b-a)
quando f não depende de z. Aqui o integrando é x, que não depende de z. Portanto a integral interna sobre z é o produto de x pela extensão do intervalo em z. Calculemos:
\int_{2y}^{1+y^{2}} x \, dz = x\bigl((1+y^{2})-(2y)\bigr).
Simplificando a expressão dentro do parêntese:
(1+y^{2})-(2y)=1-2y+y^{2}=(1-y)^{2}.
Logo a integral interna fica
\int_{2y}^{1+y^{2}} x \, dz = x(1-y)^{2}.

Passo 3

Agora substituímos o resultado na integral dupla restante:
\int_{0}^{1} \int_{0}^{1-x} x(1-y)^{2} \, dy \, dx.
Como x é constante em relação a y, podemos colocá‑lo fora da integral em y:
\int_{0}^{1} x \left(\int_{0}^{1-x} (1-y)^{2} \, dy\right) dx.
Precisamos calcular \int_{0}^{1-x} (1-y)^{2} dy. Uma forma direta é usar a substituição u=1-y. Então du=-dy. Quando y=0 temos u=1. Quando y=1-x temos u=x. Assim:
\int_{0}^{1-x} (1-y)^{2} dy = \int_{1}^{x} u^{2}(-du) = \int_{x}^{1} u^{2} du.
Integrando u^{2}:
\int_{x}^{1} u^{2} du = \left[\frac{u^{3}}{3}\right]_{u=x}^{u=1} = \frac{1-x^{3}}{3}.

Passo 4

Substituindo esse resultado voltamos à integral em x:
\int_{0}^{1} x\cdot \frac{1-x^{3}}{3} \, dx = \frac{1}{3}\int_{0}^{1} (x - x^{4}) \, dx.
Agora integramos termo a termo:
\int_{0}^{1} x \, dx = \left[\frac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{2}, \qquad \int_{0}^{1} x^{4} \, dx = \left[\frac{x^{5}}{5}\right]_{0}^{1} = \frac{1}{5}.
Portanto
\int_{0}^{1} (x - x^{4}) \, dx = \frac{1}{2} - \frac{1}{5} = \frac{3}{10}.
Multiplicando por \tfrac{1}{3} obtemos o valor final da integral:
\frac{1}{3}\cdot \frac{3}{10} = \frac{1}{10}.

Passo 5

Agora descrevo a região de integração de forma clara e geométrica. A projeção da região no plano xy é o triângulo
\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1-x\},
ou seja, o triângulo com vértices (0,0), (1,0) e (0,1). Para cada ponto (x,y) desse triângulo, a coordenada z varia entre as duas superfícies
z_{\text{inf}}=2y\quad\text{(plano)} \qquad\text{e}\qquad z_{\text{sup}}=1+y^{2}\quad\text{(paraboloide em \(y\))}.
Assim a região em (x,y,z) é
D=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1-x,\;2y\le z\le 1+y^{2}\}.
Geometricamente é o “sólido” que fica sobre o triângulo base no plano xy e entre as superfícies z=2y e z=1+y^{2}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{10}
\displaystyle D=\{(x,y,z)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 1-x,\;2y\le z\le 1+y^{2}\}

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