Calcule as integrais e descreva a região de integração:
Passo 1
O enunciado pede duas coisas: (1) calcular a integral
e (2) descrever a região de integração no espaço
.
Informações dadas:
Informações dadas:
Passo 2
Observação útil (fórmula/ideia): se uma função não depende da variável de integração, podemos tirá‑la fora da integral ou usar que
quando
não depende de
. Aqui o integrando é
, que não depende de
. Portanto a integral interna sobre
é o produto de
pela extensão do intervalo em
. Calculemos:
Simplificando a expressão dentro do parêntese:
Logo a integral interna fica
Passo 3
Agora substituímos o resultado na integral dupla restante:
Como
é constante em relação a
, podemos colocá‑lo fora da integral em
:
Precisamos calcular
. Uma forma direta é usar a substituição
. Então
. Quando
temos
. Quando
temos
. Assim:
Integrando
:
Passo 4
Substituindo esse resultado voltamos à integral em
:
Agora integramos termo a termo:
Portanto
Multiplicando por
obtemos o valor final da integral:
Passo 5
Agora descrevo a região de integração de forma clara e geométrica. A projeção da região no plano
é o triângulo
ou seja, o triângulo com vértices
,
e
. Para cada ponto
desse triângulo, a coordenada
varia entre as duas superfícies
Assim a região em
é
Geometricamente é o “sólido” que fica sobre o triângulo base no plano
e entre as superfícies
e
.