Calcule as integrais duplas:
\iint_{B}(2 x+4 y) d x d y, sendo B o retangulo 0 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 1.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B}(2x+4y)\,dx\,dy,
onde B é o retângulo dado por
0\le x\le 1,\qquad 0\le y\le 1.
Informações relevantes que temos:
  • A região B é um retângulo simples, produto de intervalos [0,1]\times[0,1].
  • A função integranda é f(x,y)=2x+4y, que é contínua em B.
    A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?

Passo 2

Ideia do método (explicação didática): como f(x,y) é contínua em um retângulo, pelo Teorema de Fubini podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada em qualquer ordem. Além disso, a integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais. Portanto podemos escrever
\iint_{B}(2x+4y)\,dx\,dy=\int_{y=0}^{1}\!\int_{x=0}^{1}(2x+4y)\,dx\,dy
ou trocar a ordem. Aqui vou mostrar primeiro integrando em x e depois em y. Dica rápida sobre antiderivadas: ao integrar em relação a x, trate y como constante; ao integrar em relação a y, trate x como constante.

Passo 3

Integral interna (integrar em x primeiro). Calculo a antiderivada em x:
\int_{0}^{1}(2x+4y)\,dx=\Big[ x^{2}+4yx\Big]_{x=0}^{x=1}.
Explicando cada termo: \int 2x\,dx = x^{2} porque a regra é \int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} (aqui n=1); \int 4y\,dx =4y\int 1\,dx =4y\cdot x pois y é constante no passo. Avaliando nos limites:
\Big[ x^{2}+4yx\Big]_{0}^{1}= (1^{2}+4y\cdot 1)- (0+4y\cdot 0)=1+4y.

Passo 4

Agora integro o resultado em y:
\int_{0}^{1}(1+4y)\,dy=\Big[ y+2y^{2}\Big]_{0}^{1}.
Explicando: \int 1\,dy = y e \int 4y\,dy = 4\cdot \dfrac{y^{2}}{2}=2y^{2}. Avaliando nos limites:
\Big[ y+2y^{2}\Big]_{0}^{1}= (1+2\cdot 1^{2})-0 =1+2=3.

Passo 5

Verificação alternativa (mesma resposta integrando em ordem y depois x, para aprendizado): primeiro
\int_{0}^{1}(2x+4y)\,dy=\Big[2xy+2y^{2}\Big]_{y=0}^{y=1}=2x+2.
Aqui \int 2x\,dy =2x\cdot y (tratando x como constante) e \int 4y\,dy=2y^{2}. Em seguida
\int_{0}^{1}(2x+2)\,dx=\Big[x^{2}+2x\Big]_{0}^{1}=1+2=3.
Mesmo resultado, mostrando que a ordem não altera para integrandas contínuas em retângulos.

Passo 6

Interpretação rápida e incentivo: a integral dupla vale \,3. Como a área do retângulo é 1, a integral é também a média (valor integral) da função 2x+4y sobre B multiplicada pela área — aqui a média é 3. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — tá com tudo para a prova!

Resposta

3

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