Calcule as integrais duplas:
, sendo
o retangulo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o retângulo dado por
Informações relevantes que temos:
- A região
é um retângulo simples, produto de intervalos . - A função integranda é
, que é contínua em .
A pergunta é: qual é o valor numérico da integral dupla acima?
Passo 2
Ideia do método (explicação didática): como
é contínua em um retângulo, pelo Teorema de Fubini podemos calcular a integral dupla como uma integral iterada em qualquer ordem. Além disso, a integral é linear: a integral da soma é a soma das integrais. Portanto podemos escrever
ou trocar a ordem. Aqui vou mostrar primeiro integrando em
e depois em
. Dica rápida sobre antiderivadas: ao integrar em relação a
, trate
como constante; ao integrar em relação a
, trate
como constante.
Passo 3
Integral interna (integrar em
primeiro). Calculo a antiderivada em
:
Explicando cada termo:
porque a regra é
(aqui
);
pois
é constante no passo. Avaliando nos limites:
Passo 4
Agora integro o resultado em
:
Explicando:
e
. Avaliando nos limites:
Passo 5
Verificação alternativa (mesma resposta integrando em ordem
depois
, para aprendizado): primeiro
Aqui
(tratando
como constante) e
. Em seguida
Mesmo resultado, mostrando que a ordem não altera para integrandas contínuas em retângulos.
Passo 6
Interpretação rápida e incentivo: a integral dupla vale
. Como a área do retângulo é
, a integral é também a média (valor integral) da função
sobre
multiplicada pela área — aqui a média é
. Mandou bem por pedir a resolução passo a passo — tá com tudo para a prova!