Calcule as integrais duplas:
\iint_{B} x y e^{x^{2}-y^{2}} d x d y, sendo B o retângulo -1 \leqslant x \leqslant 1,0 \leqslant y \leqslant 3.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{B} x y e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy,
onde B é o retângulo dado por
  • -1 \leqslant x \leqslant 1,
  • 0 \leqslant y \leqslant 3.
Informações relevantes dadas:
  • A região de integração é um produto de intervalos (retângulo), logo podemos usar integrais iteradas (Fubini) porque o integrando é contínuo em B.
  • A função integranda é f(x,y)=x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.

Passo 2

Conceito útil (explicado com calma): função ímpar e consequência para integrais.
  • Uma função g(x) é ímpar se vale g(-x)=-g(x) para todo x do domínio. Exemplo simples: g(x)=x^3 é ímpar porque (-x)^3=-x^3.
  • Propriedade importante: se g for integrável e ímpar, então para todo a>0
\int_{-a}^{a} g(x)\,dx = 0.
Razão (rapidamente): os valores em x e em -x se cancelam ponto a ponto. Exemplo: \int_{-1}^{1} x^3\,dx = 0.
Vamos usar essa propriedade aqui aplicando-a à integração em x no intervalo simétrico [-1,1].

Passo 3

Verificar paridade do integrando em relação a x (para y fixo).
Defina, para um y fixo, a função de x
\varphi(x)=x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}.
Calcule \varphi(-x):
\varphi(-x)=(-x)\,y\,e^{(-x)^{2}-y^{2}} = -x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}} = -\varphi(x).
Portanto \varphi é ímpar em x para cada y fixo. Logo, ao integrar em x sobre o intervalo simétrico [-1,1] obtemos zero para qualquer y:
\int_{-1}^{1} x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx = 0\qquad\text{(para todo \(y\in[0,3]\))}.

Passo 4

Mostrando o cálculo do integral interno de forma alternativa (antiderivada), para reforçar a ideia.
Note que
\int x e^{x^{2}}\,dx = \frac{1}{2}e^{x^{2}} + C,
pois \dfrac{d}{dx}e^{x^{2}} = 2x e^{x^{2}}. Assim, para o interno:
\int_{-1}^{1} x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx = y e^{-y^{2}} \int_{-1}^{1} x e^{x^{2}}\,dx = y e^{-y^{2}}\left[\frac{1}{2}e^{x^{2}}\right]_{x=-1}^{x=1}.
Avalie os limites:
\left[\frac{1}{2}e^{x^{2}}\right]_{-1}^{1} = \frac{1}{2}e^{1} - \frac{1}{2}e^{1} = 0,
confirmando que a integral interna é zero para todo y.

Passo 5

Então a integral dupla, escrita como integral iterada (justificável por Fubini, já que f é contínua), fica
\iint_{B} x y e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\,dy = \int_{0}^{3}\left(\int_{-1}^{1} x\,y\,e^{x^{2}-y^{2}}\,dx\right)dy.
Pelo Passo 3 / Passo 4, a integral interna em x é 0 para todo y, portanto a integral externa é
\int_{0}^{3} 0 \, dy = 0.

Resposta

0

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