Calcule as integrais duplas:
, sendo
o retângulo
.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde
é o retângulo dado por
-
, -
.
Informações relevantes dadas:
- A região de integração é um produto de intervalos (retângulo), logo podemos usar integrais iteradas (Fubini) porque o integrando é contínuo em
. - A função integranda é
.
O que se pede: calcular o valor numérico da integral dupla sobre esse retângulo.
Passo 2
Conceito útil (explicado com calma): função ímpar e consequência para integrais.
- Uma função
é ímpar se vale para todo do domínio. Exemplo simples: é ímpar porque . - Propriedade importante: se
for integrável e ímpar, então para todo
Razão (rapidamente): os valores em
e em
se cancelam ponto a ponto. Exemplo:
.
Vamos usar essa propriedade aqui aplicando-a à integração em
no intervalo simétrico
.
Passo 3
Verificar paridade do integrando em relação a
(para
fixo).
Defina, para um
fixo, a função de
Calcule
:
Portanto
é ímpar em
para cada
fixo. Logo, ao integrar em
sobre o intervalo simétrico
obtemos zero para qualquer
:
Passo 4
Mostrando o cálculo do integral interno de forma alternativa (antiderivada), para reforçar a ideia.
Note que
pois
. Assim, para o interno:
Avalie os limites:
confirmando que a integral interna é zero para todo
.
Passo 5
Então a integral dupla, escrita como integral iterada (justificável por Fubini, já que
é contínua), fica
Pelo Passo 3 / Passo 4, a integral interna em
é
para todo
, portanto a integral externa é