Calcule as integrais duplas na região retangular R.
integral dupla sen(x-y) d A, R=(x, y) ; 0 <= x <= pi2, 0 <= y <= pi2

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla integral duplaR sin(x - y) ,dA sobre o retângulo R = (x,y) : 0 <= x <= tfracpi2,;0 <= y <= tfracpi2. O conteúdo envolvido é integrais duplas e vamos usar o método de integração iterada, integrando primeiro em x e depois em y.

Passo 2

Começamos escrevendo a integral iterada:
I = integraly=0^pi/2 l(integralx=0^pi/2 sin(x - y) ,dxr) dy

Passo 3

Para resolver integral0^pi/2 sin(x - y) ,dx, fazemos a mudança de variável u = x - y. Quando x=0, u=-y; quando x=tfracpi2, u=tfracpi2-y. Assim:
integralx=0^pi/2 sin(x - y) ,dx = integralu=-y^pi/2 - y sin(u) ,du = [-cos u]u=-y^pi/2 - y = -cosl(tfracpi2-yr) + cos(-y)

Passo 4

Usando as identidades cos(tfracpi2-y)=sin y e cos(-y)=cos y, obtemos:
integral0^pi/2 sin(x - y) ,dx = -sin y + cos y = cos y - sin y

Passo 5

Agora a integral externa fica:
I = integral0^pi/2 (cos y - sin y) ,dy

Passo 6

Integramos termo a termo:
integral cos y ,dy = sin y,
integral (-sin y) ,dy = +cos y
Logo,
I = [sin y + cos y]0^pi/2 = (1 + 0) - (0 + 1) = 0

Resposta

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