Calcule as integrais duplas a seguir:
(b)
\iint_{R} y \ln (y) d Aonde: R=\{(x, y) \mid 0 \leq x \leq 1,0 \leq y \leq 2\}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y \ln(y)\,dA
onde a região R é o retângulo
R=\{(x,y)\mid 0\le x\le 1,\;0\le y\le 2\}.
Informações relevantes dadas:
  • O integrando é y\ln(y).
  • A variável x varia em [0,1] e a variável y varia em [0,2].
  • O domínio é um produto de intervalos (retângulo), ou seja, a região é simples e separável.

Passo 2

Como a região é um retângulo e a função é integrável no retângulo, pelo Teorema de Fubini a integral dupla pode ser feita separando-se as integrais em x e y. Em particular,
\iint_{R} y\ln(y)\,dA = \int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2} y\ln(y)\,dy\,dx.
Observe que o integrando não depende de x. Então podemos fatorar a integral em x:
\int_{0}^{1}\!\int_{0}^{2} y\ln(y)\,dy\,dx = \left(\int_{0}^{1} dx\right)\left(\int_{0}^{2} y\ln(y)\,dy\right).
Como \int_{0}^{1} dx = 1, a integral dupla reduz-se à integral de uma variável
I=\int_{0}^{2} y\ln(y)\,dy.
Antes de calcular, cuidado: \ln(y) não está definida em y=0. Então essa é uma integral imprópria no limite inferior; é preciso verificar que o limite existe:
I=\lim_{a\to 0^+}\int_{a}^{2} y\ln(y)\,dy.
É conhecido (e veremos abaixo) que y\ln(y) tende a 0 quando y\to 0^+, o que garante integrabilidade no sentido impróprio.

Passo 3

Vamos calcular a integral indefinida necessária usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são escolhas convenientes.
Escolhemos
u=\ln(y)\quad\Rightarrow\quad du=\frac{1}{y}\,dy,
dv = y\,dy\quad\Rightarrow\quad v=\frac{y^{2}}{2}.
Aplicando integração por partes:
\int y\ln(y)\,dy = \frac{y^{2}}{2}\ln(y) - \int \frac{y^{2}}{2}\cdot\frac{1}{y}\,dy = \frac{y^{2}}{2}\ln(y) - \int \frac{y}{2}\,dy.
A integral restante é simples:
\int \frac{y}{2}\,dy = \frac{1}{2}\cdot\frac{y^{2}}{2} = \frac{y^{2}}{4}.
Portanto a primitiva é
\int y\ln(y)\,dy = \frac{y^{2}}{2}\ln(y) - \frac{y^{2}}{4} + C.

Passo 4

Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada e o limite quando y\to 0^+. Temos
I=\lim_{a\to 0^+}\Bigg[\frac{y^{2}}{2}\ln(y)-\frac{y^{2}}{4}\Bigg]_{y=a}^{y=2}.
Avaliação no extremo superior y=2:
\frac{2^{2}}{2}\ln(2)-\frac{2^{2}}{4}= \frac{4}{2}\ln(2)-\frac{4}{4}=2\ln(2)-1.
Agora o termo no limite y\to 0^+. Precisamos do limite
\lim_{y\to 0^+}\frac{y^{2}}{2}\ln(y).
Mostramos que esse limite é 0. Uma forma rápida: escreva
y^{2}\ln(y)=\frac{\ln(y)}{1/y^{2}}.
Aplicando a Regra de L’Hôpital (parte superior tende a -\infty e a inferior a +\infty, forma -\infty/\infty), derivando numerador e denominador:
\lim_{y\to 0^+}\frac{\ln(y)}{1/y^{2}} = \lim_{y\to 0^+}\frac{1/y}{-2/y^{3}} = \lim_{y\to 0^+}\left(-\frac{y^{2}}{2}\right)=0.
Logo \lim_{y\to 0^+}\frac{y^{2}}{2}\ln(y)=0. E claramente \lim_{y\to 0^+}\frac{y^{2}}{4}=0. Portanto o termo de avaliação no limite inferior é 0.
Assim
I = \big(2\ln(2)-1\big) - 0 = 2\ln(2)-1.

Passo 5

Concluímos que a integral dupla original vale o mesmo valor (pois a integral em x deu 1). Comentário prático para a prova: ao ver uma integral dupla sobre um retângulo onde a integranda não depende de uma das variáveis, sempre separe e use \int dx = comprimento do intervalo para simplificar para uma integral de uma variável. E, ao integrar funções com \ln, a integração por partes com u=\ln(y) costuma ser a escolha natural.
Um valor aproximado (opcional) é
2\ln(2)-1 \approx 0,3862.

Resposta

2\ln(2)-1

Exercícios relacionados