Calcule as integrais duplas a seguir:
(b)
onde:
(b)
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
onde a região
é o retângulo
Informações relevantes dadas:
- O integrando é
. - A variável
varia em e a variável varia em . - O domínio é um produto de intervalos (retângulo), ou seja, a região é simples e separável.
Passo 2
Como a região é um retângulo e a função é integrável no retângulo, pelo Teorema de Fubini a integral dupla pode ser feita separando-se as integrais em
e
. Em particular,
Observe que o integrando não depende de
. Então podemos fatorar a integral em
:
Como
, a integral dupla reduz-se à integral de uma variável
Antes de calcular, cuidado:
não está definida em
. Então essa é uma integral imprópria no limite inferior; é preciso verificar que o limite existe:
É conhecido (e veremos abaixo) que
tende a
quando
, o que garante integrabilidade no sentido impróprio.
Passo 3
Vamos calcular a integral indefinida necessária usando integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são escolhas convenientes.
Escolhemos
Aplicando integração por partes:
A integral restante é simples:
Portanto a primitiva é
Passo 4
Agora avaliamos a integral definida usando a primitiva encontrada e o limite quando
. Temos
Avaliação no extremo superior
:
Agora o termo no limite
. Precisamos do limite
Mostramos que esse limite é
. Uma forma rápida: escreva
Aplicando a Regra de L’Hôpital (parte superior tende a
e a inferior a
, forma
), derivando numerador e denominador:
Logo
. E claramente
. Portanto o termo de avaliação no limite inferior é
.
Assim
Passo 5
Concluímos que a integral dupla original vale o mesmo valor (pois a integral em
deu
). Comentário prático para a prova: ao ver uma integral dupla sobre um retângulo onde a integranda não depende de uma das variáveis, sempre separe e use
comprimento do intervalo para simplificar para uma integral de uma variável. E, ao integrar funções com
, a integração por partes com
costuma ser a escolha natural.
Um valor aproximado (opcional) é