\lim _{x \rightarrow \infty}\left(\frac{2 x-3}{2 x-1}\right)^{4 x}=1^{\infty}

Passo 1

O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular o limite
\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x-3}{2x-1}\right)^{4x}.
Observação útil (tirada diretamente do enunciado): à primeira vista a base tende a 1 quando x\to\infty e o expoente tende a +\infty, portanto a expressão tem a forma indeterminada 1^{\infty}. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.

Passo 2

Estratégia (por que usar este método): para limites do tipo 1^{\infty} a técnica padrão é passar para o logaritmo natural. Se
L=\lim_{x\to\infty}\left(\frac{2x-3}{2x-1}\right)^{4x}
existir e for positiva, então podemos escrever
L=\exp\!\left(\lim_{x\to\infty}4x\ln\!\left(\frac{2x-3}{2x-1}\right)\right).
Isto vale porque a função exponencial é contínua: o limite da função é a exponencial do limite do logaritmo (quando o limite do logaritmo existe e é finito). Assim, basta calcular
\lim_{x\to\infty}4x\ln\!\left(\frac{2x-3}{2x-1}\right).

Passo 3

Simplificar a expressão dentro do logaritmo: notar que
\frac{2x-3}{2x-1}=\frac{(2x-1)-2}{2x-1}=1-\frac{2}{2x-1}.
Logo o problema reduz-se a avaliar
\lim_{x\to\infty}4x\ln\!\left(1-\frac{2}{2x-1}\right).
Para tratar esse limite, fazemos a mudança de variável conveniente t=2x-1. Quando x\to\infty temos t\to\infty e x=\dfrac{t+1}{2}. Substituindo,
4x\ln\!\left(1-\frac{2}{2x-1}\right)=2(t+1)\ln\!\left(1-\frac{2}{t}\right).

Passo 4

Calcular o limite usando uma propriedade básica do logaritmo: para qualquer constante a vale
\lim_{t\to\infty} t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right)=a.
Explicação dessa propriedade (pequena aula): escreva u=\dfrac{a}{t}. Então u\to 0 quando t\to\infty. Usa-se que \displaystyle\lim_{u\to0}\frac{\ln(1+u)}{u}=1. Assim
\lim_{t\to\infty} t\ln\!\left(1+\frac{a}{t}\right) =\lim_{t\to\infty} \frac{\ln(1+\frac{a}{t})}{\frac{a}{t}}\cdot a =1\cdot a=a.
Aplicando ao nosso caso com a=-2 (pois aparece 1-\tfrac{2}{t}=1+\tfrac{a}{t} com a=-2):
\lim_{t\to\infty} t\ln\!\left(1-\frac{2}{t}\right)=-2.
Agora retornamos à expressão 2(t+1)\ln\!\left(1-\dfrac{2}{t}\right). Podemos escrever
2(t+1)\ln\!\left(1-\frac{2}{t}\right) =2\left(t\ln\!\left(1-\frac{2}{t}\right)+\ln\!\left(1-\frac{2}{t}\right)\right).
Tomando limites: a primeira parcela tende a 2\cdot(-2)=-4 (porque t\ln(1-2/t)\to-2) e a segunda parcela tende a 2\cdot 0=0 (pois \ln(1-2/t)\to 0). Portanto
\lim_{x\to\infty}4x\ln\!\left(\frac{2x-3}{2x-1}\right)=-4.

Passo 5

Concluir o valor do limite original: como o limite do logaritmo é -4, temos
L=\exp\!\left(\lim_{x\to\infty}4x\ln\!\left(\frac{2x-3}{2x-1}\right)\right)=\exp(-4).
Pequena palavra de incentivo: deu trabalho, mas o truque do logaritmo é padrão para 1^{\infty} — decorando isso você resolve muitos limites parecidos numa prova!

Resposta

e^{-4}

Exercícios relacionados