Passo 1
O que o enunciado pede e o que nos é dado: calcular o limite
Observação útil (tirada diretamente do enunciado): à primeira vista a base tende a
quando
e o expoente tende a
, portanto a expressão tem a forma indeterminada
. O objetivo é encontrar o valor numérico desse limite.
Passo 2
Estratégia (por que usar este método): para limites do tipo
a técnica padrão é passar para o logaritmo natural. Se
existir e for positiva, então podemos escrever
Isto vale porque a função exponencial é contínua: o limite da função é a exponencial do limite do logaritmo (quando o limite do logaritmo existe e é finito). Assim, basta calcular
Passo 3
Simplificar a expressão dentro do logaritmo: notar que
Logo o problema reduz-se a avaliar
Para tratar esse limite, fazemos a mudança de variável conveniente
. Quando
temos
e
. Substituindo,
Passo 4
Calcular o limite usando uma propriedade básica do logaritmo: para qualquer constante
vale
Explicação dessa propriedade (pequena aula): escreva
. Então
quando
. Usa-se que
. Assim
Aplicando ao nosso caso com
(pois aparece
com
):
Agora retornamos à expressão
. Podemos escrever
Tomando limites: a primeira parcela tende a
(porque
) e a segunda parcela tende a
(pois
). Portanto
Passo 5
Concluir o valor do limite original: como o limite do logaritmo é
, temos
Pequena palavra de incentivo: deu trabalho, mas o truque do logaritmo é padrão para
— decorando isso você resolve muitos limites parecidos numa prova!