Calcule as integrais dos exercícios 1-24.
13.
\int\left(x^{2}-5 x\right) e^{x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int\bigl(x^{2}-5x\bigr)e^{x}\,dx.
O conteúdo aqui é integração por partes aplicada a produtos de polinômio por função exponencial.

Passo 2

Separe a integral em duas partes:
\int\bigl(x^{2}-5x\bigr)e^{x}\,dx =\int x^{2}e^{x}\,dx \;-\;5\int x\,e^{x}\,dx.
Agora vamos calcular cada uma usando integração por partes.

Passo 3

Calcule \displaystyle \int x^{2}e^{x}\,dx por partes escolhendo
u = x^{2},\quad dv = e^{x}\,dx
então
du = 2x\,dx,\quad v = e^{x}.
Logo,
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - \int 2x\,e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\int x\,e^{x}\,dx.
E já sabemos (ou calculamos de novo por partes) que
\int x\,e^{x}\,dx = x\,e^{x} - \int e^{x}\,dx = x\,e^{x} - e^{x}.
Substituindo:
\int x^{2}e^{x}\,dx = x^{2}e^{x} - 2\bigl(x\,e^{x} - e^{x}\bigr) = \bigl(x^{2}-2x+2\bigr)e^{x}.

Passo 4

Calcule \displaystyle \int x\,e^{x}\,dx (já usado acima):
\int x\,e^{x}\,dx = \bigl(x-1\bigr)e^{x}.

Passo 5

Combine os resultados:
\int\bigl(x^{2}-5x\bigr)e^{x}\,dx = \bigl(x^{2}-2x+2\bigr)e^{x} -5\bigl(x-1\bigr)e^{x} + C.
Fatorando e^{x}:
= e^{x}\Bigl[x^{2}-2x+2 -5x+5\Bigr] + C = e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr)+C.

Resposta

\int\bigl(x^{2}-5x\bigr)e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2}-7x+7\bigr)+C.

Exercícios relacionados