Calcule as integrais dos exercícios 35-40.
38.
\int \frac{\operatorname{sen} \theta d \theta}{\cos ^{2} \theta+\cos \theta-2}

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{\sin\theta\,d\theta}{\cos^{2}\theta+\cos\theta-2}.
O conteúdo envolvido é a integração de uma função racional em \cos\theta multiplicada por \sin\theta. Vamos usar a substituição u=\cos\theta.

Passo 2

Fazendo u=\cos\theta temos
du = -\sin\theta\,d\theta \quad\Longrightarrow\quad \sin\theta\,d\theta = -\,du.
Também observamos que o denominador em função de u é
\cos^{2}\theta+\cos\theta-2 = u^{2}+u-2.
Logo a integral vira
\int \frac{\sin\theta\,d\theta}{\cos^{2}\theta+\cos\theta-2} = \int \frac{-\,du}{u^{2}+u-2}.

Passo 3

Fatoramos o polinômio do denominador:
u^{2}+u-2 = (u+2)(u-1).
Portanto
\int \frac{-\,du}{u^{2}+u-2} = -\int \frac{du}{(u+2)(u-1)}.

Passo 4

Fazemos a decomposição em frações parciais:
[\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= \frac{A}{u+2} + \frac{B}{u-1}.
]
Temos
[1 = A(u-1) + B(u+2).
]
Tomando u=1 1 = B \cdot 3, logo B=\tfrac{1}{3}.
Tomando u=-2 1 = A \cdot (-3), logo A=-\tfrac{1}{3}.
Assim
[\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= -\tfrac{1}{3} , \frac{1}{u+2} ;+; \tfrac{1}{3} , \frac{1}{u-1}.
]
E então
[-\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= \frac{1}{3} , \frac{1}{u+2} ;-; \frac{1}{3} , \frac{1}{u-1}.
]

Passo 5

Integramos termo a termo:
-\int \frac{du}{(u+2)(u-1)} = \frac{1}{3}\int \frac{du}{u+2} - \frac{1}{3}\int \frac{du}{u-1}.
Usando \int \frac{du}{u+a} = \ln|u+a|, obtemos
\frac{1}{3}\ln|u+2| - \frac{1}{3}\ln|u-1| + C = \frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{u+2}{u-1}\Bigr| + C.

Passo 6

Voltando para a variável original u=\cos\theta, a solução final é
\int \frac{\sin\theta\,d\theta}{\cos^{2}\theta+\cos\theta-2} = \frac{1}{3}\ln\Bigl|\frac{\cos\theta+2}{\cos\theta-1}\Bigr| + C.

Resposta

\frac{1}{3}\,\ln\Bigl|\frac{\cos\theta+2}{\cos\theta-1}\Bigr| + C

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