Calcule as integrais dos exercícios 35-40.
38.
38.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
O conteúdo envolvido é a integração de uma função racional em
multiplicada por
. Vamos usar a substituição
.
Passo 2
Fazendo
temos
Também observamos que o denominador em função de
é
Logo a integral vira
Passo 3
Fatoramos o polinômio do denominador:
Portanto
Passo 4
Fazemos a decomposição em frações parciais:
[\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= \frac{A}{u+2} + \frac{B}{u-1}.
]
Temos
[1 = A(u-1) + B(u+2).
]
Tomando dá
, logo
.
Tomando dá
, logo
.
Assim
[\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= -\tfrac{1}{3} , \frac{1}{u+2} ;+; \tfrac{1}{3} , \frac{1}{u-1}.
]
E então
[-\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= \frac{1}{3} , \frac{1}{u+2} ;-; \frac{1}{3} , \frac{1}{u-1}.
]
[\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= \frac{A}{u+2} + \frac{B}{u-1}.
]
Temos
[1 = A(u-1) + B(u+2).
]
Tomando
Tomando
Assim
[\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= -\tfrac{1}{3} , \frac{1}{u+2} ;+; \tfrac{1}{3} , \frac{1}{u-1}.
]
E então
[-\frac{1}{(u+2)(u-1)}
= \frac{1}{3} , \frac{1}{u+2} ;-; \frac{1}{3} , \frac{1}{u-1}.
]
Passo 5
Integramos termo a termo:
Usando
, obtemos
Passo 6
Voltando para a variável original
, a solução final é