Calcule as integrais dos exercícios 1-24.
7.
\int \operatorname{arctg} y d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \operatorname{arctg}y\,dy
O conteúdo principal aqui é integração por partes.

Passo 2

Escolhemos
u = \operatorname{arctg}y \quad\text{e}\quad dv = dy.
Então
du = \frac{1}{1+y^2}\,dy \quad\text{e}\quad v = y.

Passo 3

Pela fórmula de integração por partes,
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
temos
\int \operatorname{arctg}y\,dy = y\,\operatorname{arctg}y \;-\;\int y\cdot\frac{1}{1+y^2}\,dy.

Passo 4

Para calcular
\int \frac{y}{1+y^2}\,dy,
fazemos a substituição t=1+y^2, logo dt=2y\,dy. Assim,
\int \frac{y}{1+y^2}\,dy = \frac{1}{2}\int \frac{dt}{t} = \frac{1}{2}\ln|t| + C = \frac{1}{2}\ln(1+y^2) + C.

Passo 5

Substituindo de volta na expressão por partes, concluímos
\int \operatorname{arctg}y\,dy = y\,\operatorname{arctg}y - \frac{1}{2}\ln(1+y^2) + C.

Resposta

y\,\operatorname{arctg}y \;-\; \tfrac{1}{2}\ln\bigl(1+y^2\bigr) + C

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