Calcule as integrais dos exercícios 1-24.
8.
\int \operatorname{arcsen} y d y

Passo 1

Resumindo o enunciado: precisamos calcular a integral
\displaystyle \int \arcsin y \, dy.
O conteúdo teórico aqui é integração por partes, que se baseia na fórmula
\int u\,dv = u\,v \;-\;\int v\,du.

Passo 2

Para aplicar integração por partes escolhemos
u = \arcsin y, \quad dv = dy.
Assim
du = \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}}\,dy, \quad v = y.

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes, obtemos
\int \arcsin y \, dy = y \,\arcsin y \;-\; \int y \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - y^2}} \, dy.

Passo 4

Agora calculamos o segundo integral
\displaystyle \int \frac{y}{\sqrt{1 - y^2}}\,dy.
Fazemos a substituição
t = 1 - y^2 \quad\Longrightarrow\quad dt = -2y\,dy.
Logo
\int \frac{y}{\sqrt{1 - y^2}}\,dy = -\frac{1}{2} \int \frac{dt}{\sqrt{t}} = -\frac{1}{2}\cdot 2\sqrt{t} = -\sqrt{1 - y^2} + C.

Passo 5

Substituindo esse resultado na expressão por partes, concluímos
\int \arcsin y \, dy = y \,\arcsin y - \bigl(-\sqrt{1 - y^2}\bigr) + C = y\,\arcsin y + \sqrt{1 - y^2} + C.

Resposta

\int \arcsin y \, dy = y\,\arcsin y + \sqrt{1 - y^2} + C.

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