Calcule as integrais dos exercícios 1-24.
2.
\int \theta \cos \pi \theta d \theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \theta \cos\bigl(\pi \theta\bigr)\,d\theta.
O método mais adequado aqui é a integração por partes, pois aparece o produto de uma função polinomial \theta por uma função trigonométrica \cos(\pi\theta).

Passo 2

Lembrando a fórmula de integração por partes
\int u\,dv = u\,v - \int v\,du,
fazemos a escolha
u = \theta,\qquad dv = \cos\bigl(\pi \theta\bigr)\,d\theta.
Então
du = d\theta,
e para obter v calculamos
v = \int \cos\bigl(\pi \theta\bigr)\,d\theta.
Usando a substituição w=\pi\theta, dw=\pi\,d\theta, temos
v = \int \cos(w)\,\frac{dw}{\pi} = \frac{1}{\pi}\sin(w) = \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr).

Passo 3

Aplicando a fórmula de partes:
\int \theta \cos\bigl(\pi \theta\bigr)\,d\theta = u\,v \;-\;\int v\,du = \theta\;\frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr) \;-\;\int \frac{1}{\pi}\sin\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta.
Isto é,
\int \theta \cos\bigl(\pi \theta\bigr)\,d\theta = \frac{\theta\,\sin(\pi\theta)}{\pi} - \frac{1}{\pi}\int \sin\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta.

Passo 4

Agora integramos \int \sin(\pi\theta)\,d\theta. Usando de novo w=\pi\theta, dw=\pi\,d\theta,
\int \sin\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta = \int \sin(w)\,\frac{dw}{\pi} = -\frac{1}{\pi}\cos(w) = -\frac{1}{\pi}\cos\bigl(\pi\theta\bigr).
Substituindo de volta:
- \frac{1}{\pi}\int \sin\bigl(\pi\theta\bigr)\,d\theta = -\frac{1}{\pi}\Bigl(-\frac{1}{\pi}\cos(\pi\theta)\Bigr) = \frac{\cos(\pi\theta)}{\pi^2}.
Portanto, juntando tudo,
\int \theta \cos\bigl(\pi \theta\bigr)\,d\theta = \frac{\theta\,\sin(\pi\theta)}{\pi} + \frac{\cos(\pi\theta)}{\pi^2} + C,
onde C é a constante de integração.

Resposta

\int \theta \cos\bigl(\pi \theta\bigr)\,d\theta = \frac{\theta\,\sin(\pi\theta)}{\pi} + \frac{\cos(\pi\theta)}{\pi^2} + C.

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