Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
\int \frac{d x}{x-\sqrt{x}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{dx}{x - \sqrt{x}}.
O conteúdo aqui é método de substituição em integrais que envolvem raiz, para reduzir à forma padrão de \int\frac{du}{u - a}.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \sqrt{x},
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x = u^{2} \quad\text{e}\quad dx = 2u\,du.

Passo 3

Substituindo na integral original:
\int \frac{dx}{x - \sqrt{x}} = \int \frac{2u\,du}{u^{2}-u} = \int \frac{2u\,du}{u(u-1)} = \int \frac{2}{u-1}\,du.

Passo 4

A integral ficou na forma
\int \frac{2}{u-1}\,du = 2 \int \frac{du}{u-1} = 2 \ln\bigl|u-1\bigr| + C.

Passo 5

Voltando à variável x com u=\sqrt{x}, obtemos
\int \frac{dx}{x - \sqrt{x}} = 2 \ln\bigl|\sqrt{x} - 1\bigr| + C.

Resposta

2 \ln\bigl|\sqrt{x} - 1\bigr| + C

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