Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
10.
\int \operatorname{cosec}(\pi x-1) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \csc\bigl(\pi x - 1\bigr)\,dx
usando uma substituição que transforme essa integral numa forma-padrão. O conteúdo aqui é integração por substituição e a forma-padrão que vamos usar é
\int \csc(u)\,du = -\ln\bigl|\csc(u)+\cot(u)\bigr|+C.

Passo 2

Fazendo a substituição
u = \pi x - 1,
temos
du = \pi\,dx \quad\Longrightarrow\quad dx = \frac{du}{\pi}.

Passo 3

Substituindo em \displaystyle \int \csc(\pi x - 1)\,dx, obtemos
\int \csc(\pi x - 1)\,dx = \int \csc(u)\,\frac{du}{\pi} = \frac{1}{\pi}\,\int \csc(u)\,du.

Passo 4

Usamos a forma-padrão
\int \csc(u)\,du = -\ln\bigl|\csc(u)+\cot(u)\bigr|+C.

Passo 5

Portanto
\frac{1}{\pi}\,\int \csc(u)\,du = -\frac{1}{\pi}\,\ln\bigl|\csc(u)+\cot(u)\bigr| + C.

Passo 6

Voltando à variável x com u=\pi x-1, a resposta final é
-\frac{1}{\pi}\,\ln\bigl|\csc(\pi x - 1)+\cot(\pi x - 1)\bigr|+C.

Resposta

-\frac{1}{\pi}\,\ln\bigl|\csc(\pi x - 1)+\cot(\pi x - 1)\bigr|+C.

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