Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
18.
\int_{\pi / 2}^{\pi}(\operatorname{sen} y) e^{\cos y} d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{\pi/2}^{\pi} \sin y\,e^{\cos y}\,dy
usando uma substituição que leve a integral à forma-padrão \int e^{u}du. O conteúdo aqui é integração por substituição, aproveitando que a derivada de \cos y envolve \sin y.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = \cos y, \quad du = -\sin y\,dy
Logo,
\sin y\,dy = -\,du.
Quando y = \pi/2, temos u = \cos(\pi/2)=0.
Quando y = \pi, temos u = \cos(\pi)=-1.
Substituindo na integral,
\int_{\pi/2}^{\pi} \sin y\,e^{\cos y}\,dy = -\int_{u=0}^{u=-1} e^{u}\,du = \int_{u=-1}^{u=0} e^{u}\,du.

Passo 3

Agora reconhecemos a forma-padrão \int e^{u}du. Integramos:
\int_{-1}^{0} e^{u}\,du = \bigl[e^{u}\bigr]_{u=-1}^{u=0} = e^{0} - e^{-1} = 1 - e^{-1}.

Resposta

1 - e^{-1}

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