Calcule as integrais dos exercícios 1-36 usando uma substituição para reduzi-las à forma-padrão.
25.
\int \frac{9 d u}{1+9 u^{2}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{9\,du}{1+9u^{2}}.
Este é um caso de integral do tipo \int \frac{dx}{1+x^{2}}=\arctan x + C. Vamos usar uma substituição linear para reduzir à forma-padrão.

Passo 2

Fazendo a substituição
t = 3u \quad\Longrightarrow\quad dt = 3\,du \quad\Longrightarrow\quad du = \frac{dt}{3},
temos
\int \frac{9\,du}{1+9u^{2}} = \int \frac{9\,(dt/3)}{1+t^{2}} = \int \frac{3\,dt}{1+t^{2}}.

Passo 3

Como
\int \frac{dt}{1+t^{2}} = \arctan t + C,
então
\int \frac{3\,dt}{1+t^{2}} = 3\,\arctan t + C.
Voltando à variável u (isto é, t=3u), obtemos
3\,\arctan(3u) + C.

Resposta

3\,\arctan(3u) + C

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